Matematické Fórum

SoniCorr

Zdravím, mám integrál $\int_{}^{}\sqrt{2+x-x^2}dx$ . (Bez eulerovy substituce)

jelena · 13. 03. 2013 23:24

Zdravím,

pokud upravíš výraz pod odmocninou na úplný čtverec a použiješ "malou substituci", tak bych řekla, že využiješ stejný postup, jako zde. Je to dost nepřehledné, ale snad se zorientuješ.

jrn · 13. 03. 2013 23:25

Zdravím, zkusil bych:
$\sqrt{2+x-x^2} =\sqrt{\frac{5}{4}-$x-\frac{1}{2}$^2}= \sqrt{\frac{5}{4}}\sqrt{1-$\frac{2}{\sqrt5}\(x-\frac{1}{2}$\)^2} = \sqrt{\frac{5}{4}}\sqrt{1-$\frac{2x-1}{\sqrt5}$^2}$
no a ted to substituci nacpat na 1-sin^2 = cos^2 .
Doufám že tam nemam nekde numerickou chybu, ale kdyby jo, tak myšlenka je snad videt.
Osobně mám ale radši tu Eulerovu substituci, u níž mi pak přijde menší práce s definičníma oborama

SoniCorr · 14. 03. 2013 11:00

no tak udělal jsem to takhle $u=\frac{2x-1}{\sqrt{5}}\Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{2}du=dx$ . Dostaneme $\frac{5}{4}\int_{}^{}\sqrt{1-u^{2}}du=|u=sint|=\frac{5}{4}\int_{}^{}\sqrt{1-sin^{2}t}*costdt=\frac{5}4{}\int_{}^{}cos^{2}tdt$ a to je $\frac{5}{4}\int_{}^{}\frac{1}{2}(cos(2t)+1)dt$ a pri zpetne uprave mi vyjde neco hrozneho

jrn · 14. 03. 2013 16:13

no tak to zderivuj a uvidíš, vylezou určitě inverzní goniometricky funkce ale to snad neni nic tak hrozného

Matematické Fórum

#1 13. 03. 2013 22:49 — Editoval SoniCorr (13. 03. 2013 22:49)

Neurčitý integrál

#2 13. 03. 2013 23:24

Re: Neurčitý integrál

#3 13. 03. 2013 23:25

Re: Neurčitý integrál

#4 14. 03. 2013 11:00

Re: Neurčitý integrál

#5 14. 03. 2013 16:13

Re: Neurčitý integrál

Zápatí