Matematické Fórum

brabenec

Dobrý večer,
Dostala jsem šílený úkol z informatiky, vůbec si s ním nevím rady.
Máme kvádr, ten má strany a, b, c, je po okraj naplněn vodou a je nakláněn o úhel od 0°(plný) do 90°(prázdný). Máme zjistit funkce pro to,kolik procent vody se vylije při určitém úhlu. Po vylití poloviny vody se fce změní, pro různá a, b, c bude tento bod odlišný.

Moc děkuji za pomoc.

byk7 · 03. 03. 2013 21:04

To je moc pěkná úloha, mrknu se na ni a pak dám vědět.

Cheop · 05. 03. 2013 14:49 — Editoval Cheop (05. 03. 2013 14:49)

↑ brabenec:
Nevím zda jsem dobře pochopil úlohu, ale procento vylití pro daný úhel naklonění mě vychází:
$p=\frac{100c}{\textrm{cotg}\,\alpha\sqrt{a^2+b^2}+c}$
kde a,b jsou rozměry podstavy, c je výška kvádru, $\alpha$ je úhel naklonění

Honzc · 06. 03. 2013 08:58 — Editoval Honzc (06. 03. 2013 09:06)

↑ brabenec:
Jedna poznámka: kvádr má hrany a ne strany.
Úloha není korektně zadána. Není totiž napsáno, přes kterou hranu se naklání. Nebo se má naklánět přes roh?
↑ Cheop:
Čau,
jestli se to překlápí přes nějakou hranu, pak to nebude dobře.
Předpokládejme, že se naklání přes hranu "b".
Pak
$p=\frac{a}{2c}\text{tg}\alpha \;\;\text{pro}\;\;\alpha \in \langle0,arc\text{tg}\frac{c}{a}\rangle$
a
$p=1-\frac{c}{2a}\frac{1}{\text{tg}\alpha} \;\;\text{pro}\;\;\alpha \in \langle arc\text{tg}\frac{c}{a},\frac{\pi }{2}\rangle$
Pokud chceš procenta pak stačí výsledky vynásobit číslem 100.
Pro naklápění přes hranu "a" stačí ve vzorcích nahradit rozměr a rozměrem b.
Pro potvzení správnosti si zkus vyjádřit procento při naklopení v obou vzorcích o úhel takový, že $\text{tg}\alpha =\frac{c}{a}$
Uvidíš, že ti v obou případech vyjde 1/2
Přes roh příště. (to bude asi složitější)

Cheop · 06. 03. 2013 09:23

↑ Honzc:
Zdar, já jsem to zjistil večer při fotbalu, že to není asi dobře.
Ale nechám to tak jak to mám.

Honzc · 14. 03. 2013 13:37 — Editoval Honzc (15. 03. 2013 06:33)

↑ brabenec:
Tady je výpočet pro naklánění přes roh $A$ . Předpokládejme dále, že $a\le b$ (to ovšem můžeme, jinak stačí přehodit a s b)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Např. dle obrázku nakláníme přes roh $A$ v rovině $ACC'$ , úhel měříme od hrany $AA'$ proti směru hodinových ručiček.
Odvozené vztahy pro objemy $V$ je množství vylité vody při daném úhlu naklonění $\alpha$
Pro naklonění $\alpha \in \langle0,\alpha _{0}\rangle\;\;\text{kde}\;\;\text{tg}\alpha _{0}=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ je
$V=\frac{a\cdot b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\text{tg}\alpha$
Pro naklonění $\alpha \in \langle\alpha _{0},\alpha _{1}\rangle\;\;\text{kde}\;\;\text{tg}\alpha _{1}=\frac{c\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{b^{2}}$ je
$V=\frac{a\cdot b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\text{tg}\alpha -\frac{1}{6}\frac{a^{2}+b^{2}}{a\cdot b\cdot \text{tg}^{2}\alpha }\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\text{tg}\alpha -c \right)^{3}$
Pro naklonění $\alpha \in \langle\alpha _{1},\alpha _{2}\rangle\;\;\text{kde}\;\;\text{tg}\alpha _{2}=\frac{c\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}$ je
$V=a\cdot b\cdot c-\frac{1}{2}\frac{a\cdot c}{b}\left(\frac{c\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\text{tg}\alpha } -a^{2}\right)-\frac{1}{6}\frac{a^{5}}{b}\frac{\text{tg}\alpha }{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
Pro naklonění $\alpha \in \langle\alpha _{2},\frac{\pi}{2} \rangle$ je
$V=a\cdot b\cdot c-\frac{1}{6} \frac{c^{3}\left(a^{2}+b^{2} \right)}{a\cdot b}\frac{1}{\text{tg}^{2}\alpha }$

martisek

↑ brabenec:

Několik poznámek: Zkusil jsem si to taky spočítat a vyšlo mi to stejně jako ↑ Honzc:. Kvádr má samozřejmě hrany a ne strany, ale tady si snad rozumíme. Neřekl bych, že úloha je zadaná nekorektně - je totiž v podstatě jedno, přes kterou hranu nakláníme. Výsledky ↑ Honzc: jsou pro stranu b, pro stranu a resp. c obdržíme výsledky pouze cyklickou záměnou, tj. příslušným způsobem jenom prohodíme některá písmenka.

Naklánění "přes roh" je nesmysl - to bychom totiž museli mít zadány úhly dva. Pokud máme jen jeden úhel, máme otáčet kolem přímky. Otáčíme-li přes hranu, je tato přímka jasná. Otáčíme-li "přes roh", přímka definovaná není. Otáčení "přes roh" v ↑ Honzc: je otáčení kolem přímky kolmé ke stěnové úhopříčce AC. "Přes roh C" ale můžeme otáčet kolem libovolné přímky jdoucí bodem C. Pokud bychom tedy měli otáčet takto, pak tam chybí údaj, který by osu otáčení identifikoval.

Honzc · 15. 03. 2013 06:25 — Editoval Honzc (15. 03. 2013 13:31)

↑ martisek:
Zdravím,
píšeš "...Neřekl bych, že úloha je zadaná nekorektně - je totiž v podstatě jedno, přes kterou hranu nakláníme."
V "podstatě" ovšem není korektní zadání.
Kdybys dobře četl, tak jsem v příspěvku #4 napsal, že pro překlápění přes hranu "a" stačí zaměnit hranu "a" hranou "b" . Také bývá zvykem, že kvádr má podstavu tvořenou hranami "a" a "b" a hrana "c" je "výška" kvádru. Kvádr stojí na podstavě a tudíž překlápění přes hranu "c" je jaksi technicky těžko proveditelné.
Pro překlápění přes roh.
Já tedy budu tu rovinu (ten tvůj druhý úhel) víc precizovat.
Rovina, ve které měříme úhel alfa je v průběhu naklápění vždy kolmá k rovině podložky a zůstává na stejném místě nebo jinak řečeno - hrana $CC'$ zůstává v průběhu naklánění v původní rovině $ACC'$
Pokud budeš mít zájem, tak ti napíšu jak to lehce technicky zajistit.

Matematické Fórum

#1 03. 03. 2013 19:49 — Editoval brabenec (03. 03. 2013 21:02)

Naklánění kvádru

#2 03. 03. 2013 21:04

Re: Naklánění kvádru

#3 05. 03. 2013 14:49 — Editoval Cheop (05. 03. 2013 14:49)

Re: Naklánění kvádru

#4 06. 03. 2013 08:58 — Editoval Honzc (06. 03. 2013 09:06)

Re: Naklánění kvádru

#5 06. 03. 2013 09:23

Re: Naklánění kvádru

#6 14. 03. 2013 13:37 — Editoval Honzc (15. 03. 2013 06:33)

Re: Naklánění kvádru

#7 14. 03. 2013 19:12 — Editoval martisek (14. 03. 2013 19:16)

Re: Naklánění kvádru

#8 15. 03. 2013 06:25 — Editoval Honzc (15. 03. 2013 13:31)

Re: Naklánění kvádru

Zápatí