Matematické Fórum

Aquabellla · 13. 03. 2013 20:21

Pěkný večer přeji.

Spojitá náhodný vektor $\mathbf{X} = (X_1, X_2)^T$ je rovnoměrně spojitě rozdělen na oblasti $G = \{(x_1, x_2) \in \mathrm{R}^2; 0 \le x_1 < 1, 0 \le x_2 < 1, x_1 + x_2 \le 1 \}$ .
Určete $C(X_1, X_2)$ .

Vím, že rovnoměrně spojité rozdělení pro jednu náhodnou veličinu je:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a}; & x \in \langle a, b \rangle \\ 0; & \text{jinak} \end{cases}$

Jak rozdělení upravit, aby se dalo použít pro dvě náhodné veličiny a oblast G?
Předem děkuji.

Stýv · 13. 03. 2013 20:53

musí mít na G konstantní hustotu a všude jinde nulovou

vanok · 13. 03. 2013 21:57

Ahoj, co alebo kto je $C(X_1, X_2)$ ?

Aquabellla · 14. 03. 2013 12:49

↑ Stýv:

Takže takto?
$f(x_1, x_2) = \begin{cases} K; & x \in G \\ 0; & \text{jinak} \end{cases}$ , kde $K \in \mathrm{R}$

A při počítání středních hodnot (je třeba znát $E(X_1), E(X_2), E(X_1 \cdot E_2)$ ) mám v mezích integrálů mít $x_1 \in \langle 0, 1 \rangle$ a $x_2 \in \langle 0, 1 - x_1 \rangle$ ?

↑ vanok:

To je kovariance. $C(X_1, X_2) = E(X_1 \cdot X_2) - E(X_1) \cdot E(X_2)$

Brano · 14. 03. 2013 13:59

↑ Aquabellla:
ano a este treba urcit $K$ tak, aby integral cez $R^2$ bol $=1$ , cize $K=2$ .

Aquabellla · 14. 03. 2013 15:15

↑ Brano:

Děkuji. Tomu rozumím

$E(X_1 X_2) = \int_0^1 \left( \int_0^{1 - x_1} 2 x_1 x_2 \text{d}x_2 \right) \text{d}x_1 = ... = \frac{1}{12}$

Střední hodnotu $E(X_1)$ mám počítat normálně podle rovnoměrně spojitého rozložení pro jednu náhodou veličinu? A mám vzít meze 0, 1, nebo do toho ještě nějak zakomponovat tu podmínku $x_1 + x_2 \le 1$ ?
Pokud počítám takto: $\int_0^1 \frac{1}{1 - 0}x_1 \text{d}x_1 = \frac12$
Ale podle výsledků má být $C(X_1, X_2 ) = - \frac{1}{36}$ , což nevychází. V čem dělám chybu?

Stýv · 14. 03. 2013 15:31

$E(X_1)$ počítáš podle stejnýho vzorce jako $E(X_1 X_2)$ , jenom tam místo $X_1 X_2$ máš $X_1$ , tedy $E(X_1) = \int_0^1 \left( \int_0^{1 - x_1} 2 x_1 \d x_2 \right) \d x_1 = \dotsc$

Aquabellla · 14. 03. 2013 18:48

↑ Stýv:

Děkuji mockrát!

Ještě jedna otázka... jak vypadá rovnoměrně diskrétní rozdělení?
$\mathbf{X} = (X_1, X_2)^T \sim Rd(G)$ , kde $G = \{(-1,0), (0,1), (1,0)\}$