Matematické Fórum

kvitko93 · 14. 03. 2013 21:37

Ahoj, mohl by mi prosím někdo pomoci zjistit stacionární body, z této funkce? $f(x,y) = x\cdot y\cdot ln(x^{2}+y^{2})$

Když si funkci zderivuju podle x a pak podle y, a dám rovno 0, tak nevím přesně co dál si z toho vyjádřit, aby mi tam vyšly ty stacionární body.

Díky za pomoc.

jelena · 14. 03. 2013 22:33

Zdravím,

zkus ještě napsat, jak vyšly derivace. Pokud si parciální derivaci představuji správně, tak při řešení soustavy rovnic, co máš, může být užitečné z jedné rovnice vyjádřit $\ln(x^{2}+y^{2})$ a dosadit do druhé - po úpravě vznikne rovnice v součinovém tvaru. Ale to jen tak odhaduji, doplň ještě prosím soustavu rovnic "parciální derivace"=0. Děkuji.

martisek · 14. 03. 2013 22:35

↑ kvitko93:

$\frac{\partial f}{\partial x} =0$

$\frac{\partial f}{\partial y} =0$

Je třeba zjistit, které body [x,y] jsou řešením této soustavy. Mělo by vyjít x=0; y=0; x= y; x= -y.

kvitko93

Jo, to je dobré - to vyjádření logaritmů, pak se s tím dá už něco dělat.

Jinak ty parciální derivace mi vyšly:
$f'_{x} = y\cdot ln(x^{2}+y^{2}) + xy\cdot \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x$

$f'_{y} = x\cdot ln(x^{2}+y^{2}) + xy\cdot \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y$

Vyšly mi teda ty 4 kořeny, a to x=0, y=0, x=y a x=-y.

Děkuji.

martisek

↑ kvitko93:

OK, ale pozor v bodech x=0 je nulová jen derivace f_y, v bodech y=0 je nulová jen derivace f_x. Stacionárními body jsou jen body, kde jsou nulové obě derivace současně. Obávám se, že ta soustava je řešitelná pouze numericky. Vycházejí čtyři body, přibližně $[x;y]= [\pm 4,3;\pm 4,3]$ .

kvitko93

↑ martisek:

A mohu se zeptat, jak jste na to přišel?
Tam bude asi někde chyba, protože nám bylo řečeno, že je zde 8 stacionárních bodů.

A dál z toho potom máme zjistit lokální extrémy.

martisek · 18. 03. 2013 17:12

↑ kvitko93:

Přišel jsem na to celkem jednoduše - nechal jsem si namalovat křivky

$y\cdot ln(x^{2}+y^{2}) + xy\cdot \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x = 0$

a

$x\cdot ln(x^{2}+y^{2}) + xy\cdot \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y = 0$

Odtud ty čtyři průsečíky.
Ale udělal jsem to znovu a až teď jsem si všiml, že měřítko na osách je *10^(-1), takže ty průsečíky jsou $[x;y]= [\pm 0,43;\pm 0,43]$ .

A Ještě něco - prve mi uniklo, že pro x=0 je $y\cdot ln(y^{2}) = 0 \Rightarrow y= \pm 1$ a pro y=0 je $x\cdot ln(x^{2}) = 0 \Rightarrow x= \pm 1$ a všechny čtyři tyto body jsou stacionární pro obě derivace. Takže těch stacionárních bodů je opravdou osm. Ty čtyři, co mi prve unikly, se dají uhodnout, ale ty čtyři, co jsem už avizoval, se dají zjistit asi opravdu jenom numericky. Zkusím ještě zapřemýšlet, ale nevím , nevím...

kvitko93

↑ martisek:

Už to vidím, toho jsem si vůbec nevšimla.

Brano · 18. 03. 2013 17:45 — Editoval Brano (18. 03. 2013 17:51)

Pozn. $f$ sice nie je definovana v $x=y=0$ , ale da sa trivialne definovat $f(0,0)=0$ a potom by $f$ bola $C^1$ , avsak nie $C^2$ , tak by sa mohlo upresnit, ci sa pripad $x=y=0$ ma alebo nema uvazovat. Z vyroku "ma to mat 8 rieseni" usudzujem, ze nie, ale pre uplnost ho uvediem.

Myslim, ze v kartezianskych suradniciach to uz dotiahnete, tak by som rad este podotkol, ze prechodom do polarnych suradnic sa hladanie stacionarnych bodov dost zjednodusi. T.j. ak
$x=r\cos\varphi$
$y=r\sin\varphi$
pre $r\in[0,\infty)$ a $\varphi\in[0,2\pi)$
potom
$f=r^2\ln r\sin(2\varphi)$
// ... tu sa to dodefinovanie lahko overi, lebo $\lim_{r\to 0}r\ln r=0$
a teda
$f'_\varphi=2r^2\ln r\cos(2\varphi)=0$
$f'_r=\sin(2\varphi)(2r\ln r+r)=0$
Z prvej rovnice mame
bud a) $r=0$ a dosadenim do druhej vidime, ze aj ta je splnena, tak mame riesenie $(0,0)$
alebo b) $r=1$ ; dosadime do druhej a dostaneme $\sin(2\varphi)=0$ cize $\varphi=\frac{k\pi}{2}$ pre $k=0,1,2,3$ a teda mame riesenia
$\{(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)\}$
alebo c) $r\not=0$ , $r\not=1$ , teda $\cos(2\varphi)=0$ potom ale $\sin(2\varphi)\not=0$ a teda $2r\ln r+r=0$ ale kedze $r\not=0$ tak $\ln r=-\frac{1}{2}$ a teda $r=\frac{1}{\sqrt{e}}$ a $\varphi=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$ pre $k=0,1,2,3$ a mame teda riesenia
$\{\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2e}},\pm\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)\}$

jelena · 18. 03. 2013 19:50

Zdravím,

↑ martisek:

pokud jde o kořeny $[x;y]= [\pm 0,43;\pm 0,43]$ , tak mně to vzniklo, když se vrátím k dosazování nalezených kořenů do $\ln(x^{2}+y^{2})$ , které jsem na začátku vyjadřovala z 1. rovnice (viz příspěvek 2). Ovšem ve formě zápisu kolegy ↑ Brano:, tedy $\{\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2e}},\pm\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)\}$ (komplet (c), děkuji :-).

user · 18. 03. 2013 21:56 — Editoval user (19. 03. 2013 00:17)

Ahoj,

jen doplním, že se dá řešit i bez polárních souřadnic. Soustava ↑ martisek: se vyřeší vynásobením první rovnice y, druhé x a odečtením rovnic. Ale je to pracnější pak dodělávat, hlavně matice 2. derivace. (x=0 a y=0 se dořeší zvlášť a vedou k dalším 4 řešením).

Na druhou stranu už jsem tento příklad viděl jako funkci 3 proměnných a tam to bylo (myslím) přes sférický stejně nanic jako normálně. (EDIT tak možná klasicky je to dokonce lehčí)

martisek · 18. 03. 2013 22:08

↑ jelena: ↑ Brano:

Dobrý večer,

souřadnice $[x;y]= [\pm 0,43;\pm 0,43]$ jsou jen přibližné - jen jsem je odhadl z grafu, nijak jsem to dál nepočítal. Ty polární souřadnice mě nenapadly, i když vzhledem k argumentům těch logaritmů asi mohly. O bodu [0;0] jsem samozřejmě věděl, ale vzhledem k tomu, že je mimo definiční obor (i když opravdu jen "velmi těsně") jsem o něm neuvažoval.

Každopádně velmi zajímavý příklad.

Brano · 19. 03. 2013 00:34

↑ user:
Alebo prvu $x$ a druhu $y$ a scitat. A ano je to technicky mozno este jednoduchsie ako polarne suradnice co som navrhoval, ale pri tych je "jednoduche" to, ze hned vidiet co s tymi rovnicami robit aby sme dostali riesenia. A co sa tyka prikladu $xyz\ln(x^2+y^2+z^2)$ tak tam by som sa asi na sfericke suradnice vykaslal a riesil to v kartezskych.

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2013 21:37

Stacionární body

#2 14. 03. 2013 22:33

Re: Stacionární body

#3 14. 03. 2013 22:35

Re: Stacionární body

#4 14. 03. 2013 22:55 — Editoval kvitko93 (14. 03. 2013 22:58)

Re: Stacionární body

#5 14. 03. 2013 23:12 — Editoval martisek (15. 03. 2013 11:11)

Re: Stacionární body

#6 18. 03. 2013 16:36 — Editoval kvitko93 (18. 03. 2013 16:37)

Re: Stacionární body

#7 18. 03. 2013 17:12

Re: Stacionární body

#8 18. 03. 2013 17:21 — Editoval kvitko93 (18. 03. 2013 17:26)

Re: Stacionární body

#9 18. 03. 2013 17:45 — Editoval Brano (18. 03. 2013 17:51)

Re: Stacionární body

#10 18. 03. 2013 19:50

Re: Stacionární body

#11 18. 03. 2013 21:56 — Editoval user (19. 03. 2013 00:17)

Re: Stacionární body

#12 18. 03. 2013 22:08

Re: Stacionární body

#13 19. 03. 2013 00:34

Re: Stacionární body

Zápatí