Matematické Fórum

adjamot · 15. 03. 2013 16:09

Ahoj,
mám problém s tímto příkladem:
Házíme 200x (poctivou) mincí. Jaká je pravděpodobnost, že se v sérii hodů bude vyskytovat alespoň jedna nepřerušená šestice stejných hodnot (šestice pan, šestice orlů).

Sám jsem zatím dospěl k výsledku, že tato pravděpodobnost bude větší než 1/64 a menší než 1/32.
Bohužel se to nedá řešit klasickými metodami dosazením do vzorečku binomického rozdělení, nebo normálního a nápad zatím nepřichází.

martisek

↑ adjamot:

Počet všech možných výsledků je 2^200.

Počet příznivých: nepřerušovaná šestice může padnout prvním až šestým, druhým až sedmým, atd, poslední možnost jsou hody 195 - 200. To je 195 možností. V těch šesticích ale mohou padnout panny, anebo orly, takže příznivých možností je 2.195.

Pravděpodobnost je tedy

$p=\frac {2\cdot 195} {2^{200}}$

Až teď jsem si všiml, že v zadání je "alespoň jednou", což znamená, že ve zbylých 194 případech to může dopadnout jakkoli. Takže to bude trochu jinak. Nabízelo by se

$p=\frac {2\cdot 195 \cdot 2^{194}} {2^{200}}$

To je ale samozřejmě nesmysl, něco tam funguje jinak. Musím běžet, ale budu o tom přemýšlet. Nenajde-li se do té doby někdo jiný, zkusím to sem dát pozdě večer.

Přece jenom v rychlosti - těch možností, kdy to může dopadnout jinak, je asi jen 2^189.

Brano · 16. 03. 2013 01:55

$p=\frac {2\cdot 195 \cdot 2^{194}} {2^{200}}$
toto by malo zmysel ak by napr. udalosti "sestica od prveho hodu" a "sestica od druheho hodu" boli disjunktne, co urcite niesu lebo mozeme mat neprerusenu sedmicu od prveho hodu. Ale ani princip inluzie a exkluzie sa v tomto pripade neda nejak jednoducho pouzit ...

Brano · 16. 03. 2013 02:04

tu
http://math.stackexchange.com/questions … -geometric
riesia podobny problem
ty mas $n=6$ a $p=q=0.5$ a zaujima ta $P_6+P_7+...+P_{200}$ - aj ked je otazne ci sa potom neda k vysledku dospiet aj jednoduchsie.

martisek · 16. 03. 2013 09:06

↑ Brano:

"...toto by malo zmysel ak by napr. udalosti "sestica od prveho hodu" a "sestica od druheho hodu" boli disjunktne..."

Je to tak - už když jsem to se dával, tak jsem si tím nebyl jist a ráno už jsem si jist byl - je to pitomost. O Bernoulliově posloupnosti jsem uvažoval jako první - na to, že padne nejméně šest hlav (nebo orlů) je samozřejmě klasický vzoreček, ale zase mi není vůbec jasné, jakým trikem těch šest úspěšných pokusů "srazit k sobě". V tom odkazu mi to taky připadá složité, ale zatím mě nic jednoduššího nenapadá (mě tedy zatím nenapadlo ani nic složitého :-)

adjamot

Děkuji za zájem o tento příklad ;)
Napadlo mě (inspirován jednou přednáškou) toto řešit pomocí Markovských řetězců/Markovských procesů.
Pomocí tohoto obrázku tedy bych rád vytvořil tu matici pravděpodobnosti s cílem vypočítat pravděpodobnost po 200 hodech se dostat do bodu S6. Pravděpodobnost každé šipky je 0,5.

Stýv · 21. 03. 2013 19:56

viz http://www.askamathematician.com/2010/0 … -is-known/

adjamot · 22. 03. 2013 13:10

Děkuji za ten brutální vzoreček ;)
Problém bude, že počítám pravděpodobnost alespoň šestice pan, nebo alespoň šestice orlů. Takže ještě nestačí sečíst dvě pravděpodobnosti vypočítané brutálním vzorečkem, ale i najít případy, které jsou započítány dvakrát.
(například: PPPPPPTTTTTTTPTPTPPPPPP......)

adjamot · 25. 03. 2013 13:14

Po diskuzi schématu mimo prostor fóra jsem zjistil, že tento příklad je vhodné cvičení právě na markovské řetězce.
Děkují všem, kteří se o tento příklad zajímali.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2013 16:09

Pravděpodobnost existence nepřerušované šestice

#2 15. 03. 2013 18:23 — Editoval martisek (15. 03. 2013 18:43)

Re: Pravděpodobnost existence nepřerušované šestice

#3 16. 03. 2013 01:55

Re: Pravděpodobnost existence nepřerušované šestice

#4 16. 03. 2013 02:04

Re: Pravděpodobnost existence nepřerušované šestice

#5 16. 03. 2013 09:06

Re: Pravděpodobnost existence nepřerušované šestice

#6 21. 03. 2013 19:38 — Editoval adjamot (21. 03. 2013 19:41)

Re: Pravděpodobnost existence nepřerušované šestice

#7 21. 03. 2013 19:56

Re: Pravděpodobnost existence nepřerušované šestice

#8 22. 03. 2013 13:10

Re: Pravděpodobnost existence nepřerušované šestice

#9 25. 03. 2013 13:14

Re: Pravděpodobnost existence nepřerušované šestice

Zápatí