Matematické Fórum

Figa · 08. 03. 2013 13:21

Ahoj mám tuto fci:
$x^{2}-2x+1=y$
Vím, že musím prohodit x a y abych našel inverzní fci, ale já pak vůbec netuším jak osamostatnit y. Můžete mi prosím poradit? Děkuji.

marnes · 08. 03. 2013 13:30 — Editoval marnes (08. 03. 2013 13:32)

↑ Figa:
$x^{2}-2x+1=y$
$(x-1)^{2}=y$
$(y-1)^{2}=x$
$|y-1|=\sqrt{x}$

nějak tak by to být nemohlo?

Rumburak · 08. 03. 2013 16:45

↑ Figa:

Ahoj.

... musím prohodit x a y , abych našel inverzní fci ...

To prohození x a y není nijak podstatné a lze se bez něho obejít. Máme-li například lineární funkci definovanou rovnicí

(1) $y = 3x + 6$

(tedy $y$ závisí na $x$ neboli obecně $y = y(x)$ ) , pak inv. funkce k ní znamená opačnou závislost - najdeme ji tak, že rovnici (1)
vyřešíme vzhledem k neznámé $x$ . Její řešení k libovolně zvolenému $y$ evistuje jediné, a sice ve tvaru

(2) $x = \frac{1}{3}\, y \, -\, 2$ ,

což je předpis pro inversní funkci $x = x(y)$ . Jestliže v rovnici (2) prohodíme proměnné a zapíšeme ji ve tvaru

$y = \frac{1}{3}\, x \, -\, 2$ ,

nic podstatného se tím nezmění, pouze jsme jinak označili proměnné - stajnětak jsme mohli napsat třeba $v = \frac{1}{3}\, u \, -\, 2$ .

Podstatná je matematická "stavba" vzorce (2), nikoli použité proměnné.

martisek

↑ marnes: ↑ Rumburak: ↑ Figa:

No, já tedy nevím, my Brňáci to na rozdíl od Pražáků děláme sice blbě (Stýv by o tom mohl asi dlouze povídat), ale často to máme proto jednodušší. Třeba inverzní funkce vyrábíme zásadně z funkcí prostých. Takže tady můžeme jednoduše říct, že inverzní funkce neexistuje.

marnes · 09. 03. 2013 13:50 — Editoval marnes (09. 03. 2013 13:50)

↑ martisek:
To je sice pravda, ale v mnoha případech jako je tento, když to rozdělíme na dva intervaly, tak ke každému jde inverzní funkce vytvořit. Prostě diskutovat kdy,... Ale to už musí autor dotazu zvážit, zda chce diskutovat či ne. Ze zadání nemohu vědět, co všechno dál s příkladem zamýšlí.

vanok · 09. 03. 2013 13:58

Poznamka:Ahoj ↑ Figa:,
Je velmi dolezite upresnit cely text cvicenia, a najma to na akej mnoziny tvoj zapis definuje tvoju funkciu. Ak je to napr. $\mathbb{R}$ , pochopitelne inverzna funkcie neexistuje, ako to poznamenal kolega ↑ martisek:, ale napr. ak je definovana na $[1; +\infty[$ tak jej reciprocna funkcia existuje.

Rumburak · 11. 03. 2013 09:34

↑ martisek:

Třeba inverzní funkce vyrábíme zásadně z funkcí prostých. Takže tady můžeme jednoduše říct, že inverzní funkce neexistuje.

Pokud to takto děláte i vy v Brně :-), tak to děláte samozřejmě správně.

Ale je zde i druhá možnost: nelámat si s otázkou prostoty funkce $f$ předem hlavu a začít řešit rovnici $f(x) = y$ s neznámou $x$
v závislosti na parametru $y$ - jak je to s inversní funkci k $f$ vyplyne z průběhu výpočtu a může být formulováno až v závěru .

Figa · 15. 03. 2013 19:30

Děkuji za odpovědi. Myslím, že inverzní funkce má mít Df -inf,-1 Zajímá mě řešení přesně takových příkladů. Nevím si rady s těmi různými stupni mocnin.

jelena · 17. 03. 2013 00:32

↑ Figa:

Zdravím,

pokud byl požadavek hledat inverzni funkci na intervalu (-oo, -1) (spíš bych předpokládala až +1), tak se požadovalo najít inverzní funkci k levé větvi paraboly $(x-1)^{2}=y$ , podařilo se dokončit?

Nevím si rady s těmi různými stupni mocnin.

byla zde velká debata o sudých/lichých odmocninách (zřejmě k tomu také směřuješ) - řekla bych, že pokud nejsou žádná jiná omezení, tak inverzní funkci k mocninné funkci se sudou mocninou najdeš jen na části def. oboru, kde je funkce prostá. K funkci s lichou mocninou - na celém def. oboru. Ale to je jen nástin - případně uváděj, prosím, konkrétní příklady funkcí. Děkuji.

knifebrain · 17. 03. 2013 22:37

Cau pisu do tohodle tematu protoze mam podobny problem ale nevím jak je to u případů kdy je tam více x
; $f(x)=\frac{x-1}{2x+3}$

jelena · 17. 03. 2013 23:15

↑ knifebrain:

zdravím,

přepíšeš na $y=\frac{x-1}{2x+3}$ , vynásobíš (2x+3) a budeš upravovat tak dlouho, až se podaří zapsat x=... (potom "formálně přejmenuješ x za y"). Předpokládám, že def. obor jsi stanovil a že funkce je prosta jsi ověřil.

Pokud nepomůže, tak si pro svůj problém založ samostatné téma, v tomto již nepokračuj viz pravidla. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 08. 03. 2013 13:21

Inverzní fce

#2 08. 03. 2013 13:30 — Editoval marnes (08. 03. 2013 13:32)

Re: Inverzní fce

#3 08. 03. 2013 16:45

Re: Inverzní fce

#4 09. 03. 2013 12:57 — Editoval martisek (09. 03. 2013 13:10)

Re: Inverzní fce

#5 09. 03. 2013 13:50 — Editoval marnes (09. 03. 2013 13:50)

Re: Inverzní fce

#6 09. 03. 2013 13:58

Re: Inverzní fce

#7 11. 03. 2013 09:34

Re: Inverzní fce

#8 15. 03. 2013 19:30

Re: Inverzní fce

#9 17. 03. 2013 00:32

Re: Inverzní fce

#10 17. 03. 2013 22:37

Re: Inverzní fce

#11 17. 03. 2013 23:15

Re: Inverzní fce

Zápatí