Matematické Fórum

macher1 · 16. 03. 2013 16:57

dobrý deň
mám skôr teoretické otázky. nerozumiem určitým postupom pri číselných radoch.
1) mám príklad: dokážte, že
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(5n+1)(5n-4)}=\frac{1}{5}$
pre n-tý člen platí
$a_{n}=\frac{1}{5}(\frac{1}{5n-4}-\frac{1}{5n+1})$
môžete mi vysvetliť prečo sme to upravili práve takto, príp. podľa akého pravidla? nedáva mi to zmysel, rovnako ako tá 1/5 pred zátvorkou.
2) príklad znie: dokážte, že rad konverguje
$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k2^{k}}$
podľa limitného podielového kritéria platí:
$L=\lim_{k\to\infty }\frac{a_{k+1}}{a_{k}}=$
$\lim_{k\to\infty }\frac{1}{(k+1)2^{k+1}}*\frac{k2^{k}}{1}=$
$\frac{1}{2}\lim_{k\to \infty}\frac{k}{k+1}=\frac{1}{2}<1$
možno som blbý, ale mohol by mi niekto vysvetliť to vykrátenie zlomku?
vďaka

found · 16. 03. 2013 17:31 — Editoval found (16. 03. 2013 17:32)

↑ macher1:

Ahoj,

prvně k druhému příkladu. Užíváš správně podílové kritérium. Já budu v následujícím sledu značit $k\to\infty = k$ .

$\lim_{k\to\infty} \frac{k2^k}{(k+1)2^{k+1}} = \lim_k \frac{k}{k+1}\frac{2^k}{2\cdot 2^k} = \lim_k \frac{1}{2}\frac{k}{k+1} = \frac{1}{2} \lim_k \frac{k}{k+1} = \frac{1}{2}$

Myslím, že jinak je zde již vše jasné.

Co se prvního příkladu týče, když si označíme $s_n = \sum_{k=1}^n a_n$ , tj. n-tý částečný součet řady, potom by se dalo řešit
$\lim_{n\to\infty} s_n = \frac{1}{5}$ ,

musíme tedy zjistit, jak vypadá člen $s_n$ . Úprava, kterou ty zde máš, se nazývá rozklad na parciální zlomky (jestli si to ještě dobře pamatuji). Jedná se o rozklad

$\frac{1}{(5n+1)(5n-4)} = \frac{A}{5n+1} + \frac{B}{5n-4}$ ,

zřejmě se zde ukáže (nepřepočítával jsem to), že $A = -\frac{1}{5}, B = \frac{1}{5}$ . Tím máme tedy

$a_n = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{5n-4} - \frac{1}{5n+1}\right)$ ,

což byla tvá otázka. Tohle je n-tý člen posloupnosti, kterou sčítáš, není to n-tý člen posloupnosti $s_n$ , kterou zkoumáš, tak si nejsem úplně jistý, jestli je to nějak průkazné, víc asi poradí další. :)

S pozdravem
Jimmy

macher1 · 16. 03. 2013 18:52

pri tých parciálnych zlomkoch si ani ja nie som celkom istý (pretože mi vyšli inak) ale vďaka :)

Matematické Fórum

#1 16. 03. 2013 16:57

vysvetlenie postupu pri číselných radoch

#2 16. 03. 2013 17:31 — Editoval found (16. 03. 2013 17:32)

Re: vysvetlenie postupu pri číselných radoch

#3 16. 03. 2013 18:52

Re: vysvetlenie postupu pri číselných radoch

Zápatí