Matematické Fórum

sydney · 29. 12. 2008 12:37

Ahoj, můžete mi poradit?
Funkce $y=y(x)$ je definována rovnicí $y=1+y^x$ . Vypočtěte y´ jako derivaci implicitně zadané funkce.
Děkuji za radu, po pravdě ze zadání nevím jak mám počítat

Pavel Brožek

Rovnice $y=1+y^x$ vlastně představuje rovnost dvou funkcí $y(x)$ a $1+(y(x))^x$ proměnné x, derivace těchto funkcí podle x se tedy budou rovnat. Platí tedy

$y'(x)=(1+(y(x))^x)'$ ,

kde ' značí derivování podle x. Stačí derivaci na pravé straně provést a vyjádřit $y'(x)$ , dostaneme $y'(x)$ jako funkci x a y(x).

sydney · 29. 12. 2008 14:53

↑ BrozekP:
Jen mi není jasná jedna věc. Derivovat výraz $...y(x)...$ budu jako součin $y*x$ ? nebo se za x musí něco dosadit?

Pavel Brožek · 29. 12. 2008 15:29

↑ sydney:

Tím, že píšu $y(x)$ , chci pouze zdůraznit, že y je funkce x, neznamená to žádné násobení. Je to jako když u funkce f píšeš $f(x)$ , zde máme funkci y.

sydney · 29. 12. 2008 15:39

↑ BrozekP:
Takže jestli tomu rozumím dobře, tak potom musí být:
$y(x)=1+y^x$
a zderivuji tento výraz podle x který by měl vyjít takto:
$(1+y^x)'=ln(y)*y^x$
je to tak?

Pavel Brožek · 29. 12. 2008 15:44

Ano, jen nezapomenout na to, že $\ln(y)$ také závisí na x, derivace tedy bude vypadat takto:

$(1+y^x)'=y^x\cdot(x\ln y)'=y^x\cdot(\ln y+x(\ln y)')=y^x\cdot(\ln y+x\cdot\frac 1y\cdot y')$

sydney · 29. 12. 2008 15:52

↑ BrozekP:
Aha, to mě vůbec nenapadlo, tak ještě jednou díky za radu.

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2008 12:37

derivace implicitní fce

#2 29. 12. 2008 13:18 — Editoval BrozekP (29. 12. 2008 13:18)

Re: derivace implicitní fce

#3 29. 12. 2008 14:53

Re: derivace implicitní fce

#4 29. 12. 2008 15:29

Re: derivace implicitní fce

#5 29. 12. 2008 15:39

Re: derivace implicitní fce

#6 29. 12. 2008 15:44

Re: derivace implicitní fce

#7 29. 12. 2008 15:52

Re: derivace implicitní fce

Zápatí