Matematické Fórum

Mrazoun · 16. 03. 2013 23:01

Dobrý den,
zasekl jsem se na příkladu:

$\int_{}^{} \frac{dx}{x^2+2+2\sqrt(x^2+1)}$

vypočítat ho mám pomocí pevně dané substituce $\sqrt(x^2+1) = x+t$

Zkusil jsem to následovně:
$1 = 2tx + t^2$

Zderivoval jsem předchozí podle t i podle x:
$0=2t dx + 2x dt + 2t dt$

Vyjádřil jsem si dx:
$dx = \frac{-x-t}{t}dt$

a dosadil do původního integrálu:
$-\int_{}^{} \frac{x+t}{(x^2+2(x+t)+2)t}dt$

Bohužel nevím, jak dál, ani jestli mám předchozí kroky správně. Budu rád za každý nápad.
Děkuji

Brano · 17. 03. 2013 00:17

to nie je moc dobra strategia miesat $x$ a $t$ - na vyjadrenie $dx$ si najprv vyjadri $x$ t.j.
$x=\frac{1-t^2}{2t}$ z toho si vyjadri $dx$
a aj tu odmocninu iba poda $t$ .

Zdeno29 · 17. 03. 2013 01:05

Brano: tohle podlě mě nic neřeší, tvoje strategie stejně vyústí jen v další zběsilé výpočty, a v integrálu se bude i po dosazení stále vyskytovat jak x, tak i t.
Jak jsi myslel to "odmocninu iba poda t"? myslel jsi "podla t"? no, Mrazoun píše, že je pevně daná substituce...takže "iba podla t" mu asi moc nepomůže...

Brano · 17. 03. 2013 03:50

Myslel som toto:
$x=\frac{1-t^2}{2t}$
$dx=\left(-\frac{1}{2t^2}-\frac{1}{2}\right)dt$
$\sqrt{x^2+1}=x+t=\frac{1-t^2}{2t}+t=\frac{1+t^2}{2t}$
teraz sa to dosadi a dostaneme integral z racionalnej funkcie. Inak ta substitucia sa vola Eulerova.

Teraz je to uz jasne?

Matematické Fórum

#1 16. 03. 2013 23:01

Integrál pomocí zadané substituce

#2 17. 03. 2013 00:17

Re: Integrál pomocí zadané substituce

#3 17. 03. 2013 01:05

Re: Integrál pomocí zadané substituce

#4 17. 03. 2013 03:50

Re: Integrál pomocí zadané substituce

Zápatí