Matematické Fórum

Madegi1 · 16. 03. 2013 18:29

Dobrý den,
chyběla jsem na látku ve škole a teď nevím jak mám řešit goniometrické rovnice.
Potřebovala bych vyřešit dva příklady : 3cos2x+sinxcosx+2sin2x=2 a 4sin2x-2sinxcosx=3
Pomůžete mi někdo, prosím?

Přikládám obrázek mým "výpočtů", aby jste viděli, že jsem na tom opravdu zle. Kde dělám chybu a jak to mám správně řešit?

Za všechny rady děkuji :)

P.S. Správný výsledek u prvníko příkladu je x=0.5 $\pi$ +k $\pi$ , x=3/4 $\pi$ +k $\pi$ a u druhého příkladu x=arctg3+k $\pi$ , x=3/4 $\pi$ +k $\pi$

Freedy · 16. 03. 2013 18:39

Sinus je -1 v 3/2 pi + 2kpi a ne pi/2 + kpi. Sinus má nejmenší periodu 2kpi.

Jinak nechávat si jedničku v rovnici je docela nehezké když ji můžeš krásně rozložit na sin^2x + cos^2x
až do řádku kde máš:
$-\sin ^2x+\sin x\cos x+1=0$
To máš dobře. jen si trochu nešikovně postupovala. Lepší je zvolit tento způsob:
$-\sin ^2x+\sin x\cos x+(\sin ^2x+\cos ^2x)=0$
$\sin x\cos x+\cos ^2x=0$
$\cos x(\sin x+\cos x)=0$
A řešíš tyto dvě rovnice potom - protože součin je nula když je jeden z činitelů nula.
$\cos x=0$
$\sin x+\cos x=0$

zdenek1 · 17. 03. 2013 08:21

↑ Madegi1:
$4\sin ^2x-2\sin x\cos x-3\sin ^2x-3\cos ^2x=0$
$\sin ^2x-2\sin x\cos x-3\cos ^2x=0$
$\sin ^2x-3\sin x\cos x+\sin x\cos x-3\cos ^2x=0$
$\sin x(\sin x-3\cos x)+\cos x(\sin x-3\cos x)=0$
$(\sin x+\cos x)(\sin x-3\cos x)=0$
$\sin x=-\cos x$ nebo $\sin x=3\cos x$
$\tan x=-1$ nebo $\tan x=3$
atd.