Matematické Fórum

Gambrielka · 17. 03. 2013 16:10

Dobrý den, mám 3 příklady na kombinatoriku, se kterýma si nejsem jistá. Poradil by mi prosím někdo?

1) V rotě je 6 důstojníků a 50 vojáků. Kolika způsoby lze sestavit službu, která se skládá z jednoho důstojníka a tří vojáků? Mně vyšel výsledek 117600, pokud je správný, tak nemusíte rozebírat řešení, pokud je špatný, prosím naznačte řešení. Já řešila jako $C_1(6).C_3(50)$

2) Kolika způsoby lze osvětlit místnost, v níže je pět různých lamp a každá má samostatný vypínač? Mně vyšel výsledek 31, ale opět si nejsem jistá. Řešila jsem vždy $C_1(5)+C_2(5)+C_3(5)+C_4(5)+C_5(5)$

3) Pomocí binomické věty dokažte, že číslo $12^{10}-24$ je dělitelné stem. S tímto příkladem si nevím rady vůbec, protože toto číslo, když ho zadám do kalkulačky přeci stem dělitelné není....?? Nevíte někdo, jak je to možné, že je takové zadání a jak se to řeší?

Předem mockrát děkuji.

zdenek1 · 17. 03. 2013 16:21

↑ Gambrielka:
1. OK
2. Každý vypínač je zapnutý, nebo vypnutý -> $2^5$ (variace s opakováním)
A možná ješte $-1$ pro situace, kdy jsou všechny vypínače vypnuté, protože pak místnost vlastně není osvětlená lampami.

zdenek1 · 17. 03. 2013 16:34

↑ zdenek1:
Když si rozepíšeš
$12^{10}=(10+2)^{10}=\underbrace{{10\choose0}10^{10}\cdot1+{10\choose1}10^9\cdot2+\dots+{10\choose8}10^2\cdot2^8}_{\text{je jiste delitelné stem}}+{10\choose9}10\cdot2^9+{10\choose10}\cdot2^{10}$
tak označené členy jsou jistě dělitelné stem, protože tu stovku ( $10^2$ ) můžu vždy vytknout.

Potřebujeme se podívat, co udělá
${10\choose9}10\cdot2^9+{10\choose10}\cdot2^{10}-24$
a to spočítáme
${10\choose9}10\cdot2^9+{10\choose10}\cdot2^{10}-24=10\cdot10\cdot2^9+1024-24=100(2^9+10)$

i ze zbytku (po odečtení 24) lze stovku vytknout, takže výsledný součet je stem dělitelný.

Arabela · 17. 03. 2013 16:54

Ahoj ↑ Gambrielka:,
podľa pravidiel tohoto fóra by mala byť každá úloha ako ďalšia téma - takže nabudúce nedávaj do jedného príspevku viac úloh, dobre?
Inak, k tej tretej úlohe:
$12^{10}-24=(10+2)^{10}-24=$
$10^{10}+{10\choose 1}.10^{9}.2^{1}+{10\choose 2}.10^{8}.2^{2}+{10\choose 3}.10^{7}.2^{3}+{10\choose 4}.10^{6}.2^{4}+{10\choose 5}.10^{5}.2^{5}+$
${10\choose 6}.10^{4}.2^{6}+{10\choose 7}.10^{3}.2^{7}+{10\choose 8}.10^{2}.2^{8}+{10\choose 9}.10^{1}.2^{9}+2^{10}-24$
Keďže $2^{10}-24=1024-24=1000$ je deliteľné stomi, a ako vidno, aj všetky predchádzajúce členy rozpisu sú deliteľné stomi, dôkaz je hotový.

Gambrielka · 17. 03. 2013 17:11

↑ zdenek1:

2) A mým způsobem s kombinacemi by se to nedalo řešit? Já si totiž nakreslila obrázek a pak uvažovala, když bude svítit jedna lampa, když dvě, atd., proto je můj postup takový. Jinak s těmi variacemi je to určitě jednodušší, jen se ptám, zda by to šlo i tím mým způsobem :) Děkuji.

Gambrielka · 17. 03. 2013 17:12

Oběma děkuji za odpovědi a omlouvám se za ty 3 příklady naráz O:-) Pro příště už budu vědět a budu dávat každý příklad zvlášt. Děkuji :)

Arabela · 17. 03. 2013 17:29

↑ Gambrielka:
áno, aj Tvoj rozpis je dobrý.
Vyšlo Ti 5+10+10+5+1=31.
Ak by si pridala ešte $C_{0}(5)={5\choose 0}=1$ , bol by tam zahrnutý aj prípad, že by nesvietila žiadna lampa.
Je to zaujímavé, ale naozaj platí
${5\choose 0}+{5\choose 1}+{5\choose 2}+{5\choose 3}+{5\choose 4}+{5\choose 5}=2^{5}$
(Tento výsledok sa dá aj zovšeobecniť.)

Gambrielka · 17. 03. 2013 17:39

Děkuji mockrát, jste tady všichni moc hodní, jak pomáháte :)) Jsem Vám vděčná, moc mi to ušetří čas a hlavně nervy :D

Matematické Fórum

#1 17. 03. 2013 16:10

Kombinatorika

#2 17. 03. 2013 16:21

Re: Kombinatorika

#3 17. 03. 2013 16:34

Re: Kombinatorika

#4 17. 03. 2013 16:54

Re: Kombinatorika

#5 17. 03. 2013 17:11

Re: Kombinatorika

#6 17. 03. 2013 17:12

Re: Kombinatorika

#7 17. 03. 2013 17:29

Re: Kombinatorika

#8 17. 03. 2013 17:39

Re: Kombinatorika

Zápatí