Matematické Fórum

↑ deniisek19:

LU rozklad matice A využíváme při řešení soustavy rovnic tvaru Ax = b, a sice tak, že soustavu přepíšeme do tvaru LUx=b, zavedeme substituci Ux=y, a pak řešíme soustavy dvě: Ly=b,  Ux=y.

1. Samozřejmě, že při řešení jedné soustavy je to nesmysl, protože je to daleko víc práce než třeba při Gaussově eliminaci. Tento postup se ale vyplatí při řešení více soustav, které mají stejnou matici soustavy a liší se jen vektory pravých stran. Soustavy   Ly=b,  Ux=y mají totiž trojúhelníkové matice a řeší se velmi snadno.

2. Výpočet determinantu: det (A) =det (LU) =det(L).det(U). A jelikož L,U jsou trojúhelníkové matice, stačí vynásobit hlavní diagonály.

3. Výpočet inverzní matice:

A*A^(-1)=I

Inverzní matici chápeme jako soustavu neznámých sloupců x_i, jednotkovou matici jakou soustavu sloupců b_i se samými nulami kromě jedničky na místě prvním, druhém, atd.

Inverzní matici tedy můžeme najít postupným řešením soustav Ax_i=b_i, které mají stejnou matici a liší se jen sloupci b_i (viz bod 1).