Matematické Fórum

Moabiter · 18. 03. 2013 21:00

Zdravím,

Mám spočítat práci, kterou vykoná bod co se pohybuje v poli proměnné síly po parabole z bodu A do bodu B. (nemusím to řešit obecně, ale nepotřebuji celé řešení ale pouze nějak nakopnout, tak detaily vynechávám)

Parabola má rovnice:
x = y
z = x^2 + y^2

Můj problém je, že křívkové integrály jsem nikdy nebral. Postupy co jsem vygooglil se mi zdají příliš ošklivé, než aby se to po mě chtělo. Mohl by mě někdo nakopnout jak začít?

Brano · 18. 03. 2013 21:40 — Editoval Brano (18. 03. 2013 21:42)

Sila je $\vec{F}(x,y,z)$ , krivka je $\vec{s}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ , $t\in[a,b]$ ; cize potrebujes parametrizaciu tej paraboly napr. $x=t$ potom $y=t$ a $z=2t^2$ cize $\vec{s}=(t,t,2t^2)$ interval pre $t$ treba urcit tak aby si spojil akurat body $A$ a $B$ . Praca je potom
$\int_s \vec{F}\cdot\vec{ds}=\int_s F_xdx+F_ydy+F_zdz=$
$=\int_a^b[F_x(x(t),y(t),z(t))x'(t)+F_y(x(t),y(t),z(t))y'(t)+F_z(x(t),y(t),z(t))z'(t)]dt$
cize len tu svoju parametrizaciu dosadis do $F$ a skalarne vynasobis s diferencialom tej parametrizacie $\vec{ds}=(1,1,4t)dt$ a to co dostanes integrujes podla $t$ . To je v podstate definicia krivkoveho integralu 2. druhu.