Matematické Fórum

kama55 · 18. 03. 2013 11:38

Dokažte, že
a) množina čtvercových horních (dolních) trojúhelníkových matic
stupně n,
b) množina čtvercových diagonálních matic stupně n,
c) množina symetrických matic stupně n,
d) množina antisymetrických matic stupně n,
tvoří podprostor lineárního prostoru čtvercových matic stupně n.

Tohle má být pravda a stačí to jen dokázat. Podle mě to ale neplatí. Když si vezmeme Kritérium podprostoru, tak to nám říká:
Množina W ⊆ V ,
spolu se sčítáním vektorů a násobením skalárem, je podprostorem lineárního prostoru
V (F) právě, když pro každé dva vektory u, v ∈ W a každý skalár c ∈ F, platí
1. u + v ∈ W,
2. c · u ∈ W.
Takže když např. a) vynásobím horní (dolní) trojúhelníkovou matici nulou, tak dostanu nulovou matici a ta nepatří do množiny horních (dolních) trojúhelníkových matic. Tak samo je to u b).

vanok · 18. 03. 2013 13:58

To zavisi od toho, ako su definovane tie"specialne" matice.

kama55 · 18. 03. 2013 18:31

Tak vezměme si např. a)
DEFINICE: Matice A = (aij ) se nazývá horní (resp. dolní ) trojúhelníková
matice, jestliže aij = 0 pro i > j (resp. i < j).
Takže podle mě nulová matice není horní ani dolní trojúhelníková matice. Nebo snad ano?
Děkuji za odpověď.

Stýv · 18. 03. 2013 22:29

↑ kama55: pro který $i > j$ není v nulový matici $a_{ij}=0$ ?

kama55 · 19. 03. 2013 09:29

Samozřejmě, že v nulové matici je aij = 0 pro i > j, ale nejen tyto prvky má nulové, má všechny prvky nulové. Ta nulová matice je tak speciální, že je to právě těžko říct, zda je např. horní trojúhelníková. Je jasné, že ta podmínka je tu spněna, ale nejen pro ty prvky aij = 0 pro i > j, ale pro všechny že. Proto se na to ptám, zda se ta nulová matice dá považovat za horní (dolní) trojúhelníkovou matici. Pokud ano, pak je po prblému. Proto se na to ptám.

vanok · 19. 03. 2013 10:57

↑ kama55:,
v definicii co si uviedol,(#3) si mozes vsimnut, ze v nej sa nic nehori o prvkoch na diagonale, co znamena, ze mozu byt ake len chces a nic im nebrani aby boli pripadne nuly.

A tak mas z toho odpoved na tvoju otazku.... nulova matice je vdaka tvojej definicie, aj horna (dolna) trjuholnikova matica.

(poznamka: moja odpoved, co som dal vyssie, bola motivovana tym, ze ak nahodou by si bol mal nejaku spatnu definiciu)

kama55 · 19. 03. 2013 11:29 — Editoval kama55 (19. 03. 2013 11:29)

Takže nulová matice je i diagonální? (případ b))
Matice A = (aij ), která má mimo hlavní diagonálu samé 0, tj. aij =
= 0 pro i různé od j, se nazývá diagonální.

vanok · 19. 03. 2013 12:11 — Editoval vanok (19. 03. 2013 12:13)

Ano.
À ako si napisal v prvom prispevku, dokaz co mas urobit sa da urobit ako si naznacil.
A vies najst dimenzie tych podpriestorov?

kama55 · 19. 03. 2013 18:27

No, to by mě taky zajímalo. Jaká je báze a dimenze např.a) podprostoru horních trojúhelníkových matic.

vanok · 19. 03. 2013 21:21

a) pocet prvkov ktore su povinne 0, takej matice v pripade ak ide o maticu typu ( n, n ) je
1+2+ ...+( n - 1)=...
A pocet prvkov co mozu byt lubovolne je 1 + 2 + ...+n=...
Posledne cislo je aj dim toho vektoroveho priestoru.
Jedna mozna baza, je vytvorena jednou 1 ( na jednom z miest co nie je povinne 0) a zvysok nulamy.

Staci?

kama55 · 21. 03. 2013 16:51

Bohužel jsem to moc nepochopila. Báze je množila lin. nezávislá, a její lin. kombinací musím dostat všechny prvky podprostoru, tzn. všechny horní trojúhelníkové matice. Tak nevím, co v té bázi má být?
Díky za odpověď.

vanok · 21. 03. 2013 17:18 — Editoval vanok (21. 03. 2013 17:19)

V takom priestore, matica je uvazovana ako vektor.
Podla toho co som uz napisal, JEDNA baza hornych trojuholnikovych matic je vytvororena hornymy trojuholnikovymy maticamy, ktore maju len jeden nenulovy prvok, ktory som vybral vzdy 1.

Zacni si to vizualizovat z maticamy (2,2)
Potom z(3,3). atd.

kama55 · 21. 03. 2013 17:34

Nemůžete mi napsat aspoň, jak to vypadá s tou bází u matic 2x2?

martisek

↑ kama55:

Například horní trojúhelníkové typu 2 x 2:

báze je

$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$

protože každou horní trojúhelníkovou

$\left(\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & c \end{array}\right)$

pak napíšu jako

$\left(\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & c \end{array}\right) = a \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) + b \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) +c \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$

kama55 · 21. 03. 2013 23:20

Takže matice typu 2x2 mají dimenzi 3?
Tzn, že matice stupně n mají dimenzi n+1?
Díky

vanok · 22. 03. 2013 00:02

Nie, toto je uzitocne si znovu pozriet ↑ vanok:

martisek · 22. 03. 2013 08:44

↑ kama55:

V tomto konkrétním případě jsou to matice typu 2 x 2, ale jsou to matice trojúhelníkové. Takže trojúhelníkové matice typu 2 x 2 mají dimenzi tři. Ale trojúhelníkové matice typu n x n nemají dimenzi n+1. Je třeba si promyslet tento zápis

$\left(\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & c \end{array}\right) = a \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) + b \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) +c \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$

a uvědomit si, jak by vypadal v případě 3x3, 4x4,..., nxn.

kama55 · 22. 03. 2013 09:26

Takže tu bázi u horních trojúhelníkových matic utvořím vždy z matic, které budou mít postupně na místech v horním trojúhelníku jedničku. Tzn. u matic 2x2 jsou 3, u matic 3x3 je jich 6 atd, obecně tedy 1+2+...+n a to je dimenze podprostoru horních trojúhelníkových matic.
Předpokládám, že u těch diagonálních to bude obdobně, tedy zase bázi utvoří matice, které mají postupně na diagonále jedničky a dim bude rovna počtu prvků na diagonále tzn. u matic 2x2 je to 2 atd. u matic stupně n je ta dimenze n. Ano?

martisek · 22. 03. 2013 09:46

↑ kama55:

Ano, je to tak. Dimemze prostoru všech matic typu m x n (bez jakéhokoli omezení), je m x n. Dimenze množiny speciálních typů je rovna počtu možných nenulových prvků a báze se stanoví nejjednodušeji tak, že jsou v ní matice se samými nulami vždy až na jednu jedničku, která se postupně vystřídá na místě všech prvků, které mohou být nenulové.

kama55 · 22. 03. 2013 10:07

Teď ještě řeším, jak bude vypadat ta báze u těch symetrických matic c)

vanok · 22. 03. 2013 12:35 — Editoval vanok (22. 03. 2013 12:44)

Pozor,je nespravne povedat TA baza, ale treba povedat jedna baza, lebo tvoj priestor(symetrickych matic na R, alebo na C) ma nekonecne vela baz .

Tu mas priklad prvkov jednej bazy na to c), ked ide o matice typu (3,3).

$\left(\begin{array}{ccc} 0& 0 &1\\ 0 & 0 &0\\ 1 & 0 &0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 0& 1 &0\\ 1 & 0 &0\\ 0 & 0 &0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 0& 0 &0\\ 0 & 0 &1\\ 0 & 1 &0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 1& 0 &0\\ 0 & 0 &0\\ 0 & 0&0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 0& 0 &0\\ 0 & 1 &0\\ 0 & 0&0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 0& 0 &0\\ 0 & 0 &0\\ 0 & 0&1\end{array}\right)$ .

Ked to das do suvisu zo zapisom typu (n,n), dostanes ze vseobecne dimenzia je 1+2+...+n.
( pochopitelne mozes to napisat aj takto n*(n+1)/2 )

A teraz, este dalsia mala otazka: Co si myslis, o maticovom sucine takychto matic, v pripade a), ...d)

kama55 · 24. 03. 2013 11:00 — Editoval kama55 (24. 03. 2013 11:01)

Chci se ještě zeptat: U d) bude ta báze stejná jako u c) akorát všude pod diagonálou jsou -1? A ty poslední 3 matice v bázi jsou stejné jako u c).

Jinak součin horních (dolních) trojúhelníkových matice je zase horní (dolní) trojúhelníková matice,l součinem diagonálních matic je diagonální matice. Ale součinem symetrických (antisymetrických) matic už nedostanu symetrickou (antisymetrickou) matici.

kama55 · 24. 03. 2013 11:03 — Editoval kama55 (24. 03. 2013 11:05)

Takže toto je báze u toho d)?

$\left(\begin{array}{ccc} 0& 0 &1\\ 0 & 0 &0\\ -1 & 0 &0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 0& 1 &0\\ -1 & 0 &0\\ 0 & 0 &0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 0& 0 &0\\ 0 & 0 &1\\ 0 & -1 &0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 1& 0 &0\\ 0 & 0 &0\\ 0 & 0&0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 0& 0 &0\\ 0 & 1 &0\\ 0 & 0&0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 0& 0 &0\\ 0 & 0 &0\\ 0 & 0&1\end{array}\right)$

martisek · 24. 03. 2013 12:44

↑ kama55:

Ano.

vanok · 24. 03. 2013 12:55 — Editoval vanok (24. 03. 2013 13:00)

Pozor s d)
Vektory jednej bazy su napr.
$\left(\begin{array}{ccc} 0& 0 &1\\ 0 & 0 &0\\ -1 & 0 &0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 0& 1 &0\\ -1 & 0 &0\\ 0 & 0 &0\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 0& 0 &0\\ 0 & 0 &1\\ 0 & -1 &0\end{array}\right)$
V tvojej odpovedi tie posledne matice nie su antisymetricke.
Opakujem, je velmi dolezite pisat, jedna baza, a nie BAZA
Prakticky za taku velku chybu, vela ludi neurobi skusku...

Tak ak uz nemas ine otazky dobre pokracovanie.

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2013 11:38

Matice jako podprostor

#2 18. 03. 2013 13:58

Re: Matice jako podprostor

#3 18. 03. 2013 18:31

Re: Matice jako podprostor

#4 18. 03. 2013 22:29

Re: Matice jako podprostor

#5 19. 03. 2013 09:29

Re: Matice jako podprostor

#6 19. 03. 2013 10:57

Re: Matice jako podprostor

#7 19. 03. 2013 11:29 — Editoval kama55 (19. 03. 2013 11:29)

Re: Matice jako podprostor

#8 19. 03. 2013 12:11 — Editoval vanok (19. 03. 2013 12:13)

Re: Matice jako podprostor

#9 19. 03. 2013 18:27

Re: Matice jako podprostor

#10 19. 03. 2013 21:21

Re: Matice jako podprostor

#11 21. 03. 2013 16:51

Re: Matice jako podprostor

#12 21. 03. 2013 17:18 — Editoval vanok (21. 03. 2013 17:19)

Re: Matice jako podprostor

#13 21. 03. 2013 17:34

Re: Matice jako podprostor

#14 21. 03. 2013 17:47 — Editoval martisek (21. 03. 2013 17:48)

Re: Matice jako podprostor

#15 21. 03. 2013 23:20

Re: Matice jako podprostor

#16 22. 03. 2013 00:02

Re: Matice jako podprostor

#17 22. 03. 2013 08:44

Re: Matice jako podprostor

#18 22. 03. 2013 09:26

Re: Matice jako podprostor

#19 22. 03. 2013 09:46

Re: Matice jako podprostor

#20 22. 03. 2013 10:07

Re: Matice jako podprostor

#21 22. 03. 2013 12:35 — Editoval vanok (22. 03. 2013 12:44)

Re: Matice jako podprostor

#22 24. 03. 2013 11:00 — Editoval kama55 (24. 03. 2013 11:01)

Re: Matice jako podprostor

#23 24. 03. 2013 11:03 — Editoval kama55 (24. 03. 2013 11:05)

Re: Matice jako podprostor

#24 24. 03. 2013 12:44

Re: Matice jako podprostor

#25 24. 03. 2013 12:55 — Editoval vanok (24. 03. 2013 13:00)

Re: Matice jako podprostor

Zápatí