Matematické Fórum

kiselečkina · 19. 03. 2013 11:31

Zdravím všechny a prosím o pomoc.
Zjistěte, pro která xЭR je následujicí nekonečný řad konvergentní:
$\sum_{n=1}^{\infty } 2^n sin^nx$

Došla jsem do takového vysledku:
$2^n2 \sin x \sin ^nx/(2^n \sin ^nx)=2sin x$
řad musí být konvergentní, tak $2sin x< 1 \Rightarrow \sin x<1/2$
moje odpověd" byla by $(-7\Pi /6+2\Pi ; \Pi /6+2\Pi )$
ale musí to být $(-\Pi /6+\Pi ; \Pi /6+\Pi )$
nerozumím proč to má omezení >0 ?

Rumburak · 19. 03. 2013 11:52

Zdravím.
Podmínku $2\sin x< 1$ je potřeba poopravit na $2|\sin x|< 1$ , tj. $-1/2< \sin x<1/2$ , řešením této gon. nerovnice je

$x \in (-\pi /6+k\pi ; \pi /6+k\pi ) , k \in \mathbb{Z}$

(nutno uvážit, že funkce $|\sin x|$ má periodu $\pi$ ).