Matematické Fórum

X3R0Cz · 18. 03. 2013 16:03

Ahoj, potřeboval bych poradit s tímto příkladem:

Koeficient u $x^{11}$ v binomickém rozvoji $(x^{2}-\frac{1}{x})_{^{}}^{10}$ , kde je x nenulové, je roven číslu:

Hlásím se po letech na VŠ a tento typ příkladu si vůbec nepamatuju, tak bych od vás uvítal jakékoli rady.

zdenek1 · 18. 03. 2013 16:27

↑ X3R0Cz:
Jednotlivé členy binomického rozvoje mají tvar
$A_k={10\choose k}(x^2)^{10-k}\left(-\frac1x\right)^k$
někde mezi nimi je jeden ve tvaru $k\cdot x^{11}$ , kde $k$ je hledaný koeficient
Protože mocninu u $x$ ovlivňují pouze výrazy, které obsahují $x$ , dostaneš porovnáním
$(x^2)^{10-k}\cdot (x^{-1})^k=x^{11}$
$20-2k-k=11$
$k=3$
člen tedy bude
${10\choose3}(x^2)^7\left(-\frac1x\right)^3=\ldots$

dopočítáš

MirekH · 18. 03. 2013 16:30

Vyjdeš ze vzorce pro binomický rozvoj
$\sum_0^n {n \choose k} a^{n-k}b^k$ .
Pro člen s x^11 pak platí
$2(n - k) - k = 11$
$k = 3$ .
Jedná se tedy o čtvrtý člen a koeficient je
${10 \choose 3} = 120$ .

X3R0Cz · 19. 03. 2013 11:32

Díky za rady.. na jejich základě jsem ten příklad "nějak" spočítal, ale došel jsem k dalšímu a opět si nevím rady.

Příklad zní: Koeficient u $x^{7}$ v binomickém rozvoji $(\frac{2}{x}-x^{2})^{8}$ kde je x nenulové, je roven číslu:

Na základě vašich rad jsem postupoval takto:
$\sum_0^n {n \choose k} a^{n-k}b^k$
$A_k={8\choose k}(\frac{-2}{x})^{8-k}(x^{2})^{k}$
$x^{7}=(\frac{-2}{x})^{8-k}(x^{2})^{k}$

a tady jsem se zaseknul - co mám udělat s výrazem $(\frac{-2}{x})^{8-k}$ a byl můj postup doposud správný?

zdenek1 · 19. 03. 2013 13:42

↑ X3R0Cz:
Ano, zatím OK
Nyní si všímáš jen výrazů s $x$
$(\frac1x)^{8-k}\cdot(x^2)^k=x^7$
$-(8-k)+2k=7$
a určíš $k$

X3R0Cz · 19. 03. 2013 19:08

Dobře, takže jsem určil že $k=5$ , a tedy: $A_5={8\choose 5}(\frac{-2}{x})^{3}(x^{2})^{5}$ a podle příkladu výše jsem si tedy napsal, že výsledkem příkladu je číslo ${8\choose 5}$ , podle výsledku to však má být: $-7\cdot 2^{6}$

Kde dělám chybu?

zdenek1 · 19. 03. 2013 19:27

↑ X3R0Cz:
Jistě, protože výsledek, který ti napsal ↑ MirekH: je špatně.

Co kdybys ten člen $A_5={8\choose 5}(\frac{-2}{x})^{3}(x^{2})^{5}$ skutečně spočítal (celý, tak jak je)?

X3R0Cz · 19. 03. 2013 19:30

A když se tak teď dívám na výsledky, tak zjišťuju, že výsledek prvního příkladu má být -120 a nikoli 120. Vysvětlíte mi prosím proč?

zdenek1 · 19. 03. 2013 20:54

↑ X3R0Cz:
Tak si to spočítej
${10\choose3}(x^2)^7\left(-\frac1x\right)^3=\ldots$

X3R0Cz · 19. 03. 2013 22:19

Dobrá, tak takto jsem postupoval v případě prvního příkladu:

$A_{3}={10\choose3}(x^2)^7\left(-\frac1x\right)^3$
$120x^{14}(-\frac{1}{x^{3}})$
$-120x^{11}$

A ten druhý by tedy byl:
$A_5={8\choose 5}(\frac{-2}{x})^{3}(x^{2})^{5}$
$56(\frac{-8}{x^{3}})x^{10}$
$-448x^{7}$ , což je $-7\cdot 2^{6}x^{7}$

Takto to má být správně?