Matematické Fórum

Kouří se mi v hlavě · 16. 03. 2013 18:11

Ahoj,

mám menší problém s úkolem, zadání je zde:

Vím, že...
1) $A\cdot A^{-1} = 1$
2) $A^{-T}\cdot A^{T} = 1$

tzn. získávám: $P = 1$ , není to blbost?

i.) Pak $1^{n}, n\in N$ bude platit, protože matice = 1 na jakékoliv přirozené číslo dá vždycky 1, je to tak?
ii.) No a to pak samozřejmě taky platí...

Sakra, teď mi došlo, že takové úpravy s maticemi nemůžu provádět.

Skončil jsem tady: $P = A\cdot A^{-T}\cdot A^{-1}\cdot A^{T}$

Nevím, jak dál :((
Poradil by prosím někdo?

Díky moc.

Brano · 16. 03. 2013 23:52 — Editoval Brano (16. 03. 2013 23:54)

Ak by existovalo $A^{-1}$ tak by si mal $P=1$ co sice je trivialna projekcia, ale tento priklad je zrejme vseobecnejsi. $A$ nemusi byt ani stvorcova, teda ani $A^{-1}$ ani $A^{-T}$ nema (nemusi) mat zmysel.

definicia: $P$ je matica ortogonalnej projekcie prave vtedy ked $P^2=P$ a $P^T=P$

toto si mozes lahko overit
$P^2=A\underbrace{(A^TA)^{-1}A^TA}_1(A^TA)^{-1}A^T=A(A^TA)^{-1}A^T=P$
to druhe je podobne trivialne.

No a potom sa lahko ukaze $P^n=P$ idukciou - indukcny krok je $P^{n+1}=P^nP=PP=P$

Kouří se mi v hlavě · 18. 03. 2013 20:16

↑ Brano:

Velké díky! Moc mi to pomohlo!

Ta transpozice mi dělá trochu problémy, ukážu co mám...
Jsem si jistý tímhle: $P^{T}=A^{T}\cdot (...)\cdot A$

Teď doplnit závorku...
Pamatuju si odněkud tvrzení, že $(A^{-1})^{T}= A^{T}$
...a $(A^{-T})^{T} = A^{-1} ???$

Brano · 18. 03. 2013 21:24

Tvrdenie: Ak $B$ je regularna t.j. existuje $B^{-1}$ potom $B^T$ je regularna a plati $(B^T)^{-1}=(B^{-1})^T$ . Ty to potom znacis $B^{-T}$ ale to asi nie je uplne rozsirene znacenie (aj ked je v poriadku). No a potom samozrejme $(B^{-T})^T=B^{-1}$ a $(B^{-T})^{-1}=B^T$ .

Podstatne tvrdenie ktore potrebujes je $(AB)^T=B^TA^T$ .

Potom ak $P=A(A^TA)^{-1}A^T$ tak $P^T=(A^T)^T((A^TA)^{-1})^TA^T=A((A^TA)^T)^{-1}A^T=A(A^TA)^{-1}A^T$ .

Kouří se mi v hlavě

↑ Brano:

Jé, díky!

A pokud matice splňuje výše uvedené...
pak to znamená, že jde o projekci, tj. zobrazení x-rozměrného prostoru do y-rozmerného prostoru, kde y < x?
A jestliže existuje n-rozměrný prostor, existují i vektory, pak i matice, které vektory převádějí... a jestliže zároveň ty matice splňují i. a ii. bod, tak je to projekce?

To je asi dost pitomá ukázka té druhé části...

Co myslíš?

P.S.
Neumím moc dokazovat... ty ses to tak hezky naučil cvikem a časem? (nebo jsi přirozený talent?)

Brano · 19. 03. 2013 01:07

Ak matica $P$ (typu $n\times n$ ) splna $P^2=P$ tak je to matica projekcie na nejaky podpriestor $\mathbb{R}^n$ - ono je to v podstate definicia projekcie. Ak naviac $P^T=P$ tak sa jedna o ortogonalnu projekciu. Az tvojho zadania tipujem, ze ked sa tam povie projekcia tak sa automatcky mysli ortogonalna projekcia (aj ked takato konvencia nie je vseobecne prijimana, tak je v poriadku.)

Ono v vseobecnosti ak $X$ je nejaky priestor, tak $f:X\to X$ je projekcia, ak $f(X)=Y$ je podpriestor $X$ a $f$ zachovava strukturu (v tomto pripade, ze je to linearne zobrazenie) a pre vsetky $y\in Y$ plati $f(y)=y$ , alebo ekvivalentne pre vsetky $x\in X$ plati $f(f(x))=f(x)$ .
Nozes si precitat nieco aj tu.

P.S. ano chce to cvik a asi aj pozerat si ako su veci dokazovane v ucebniciach a ako je tam tak celkovo budovana teoria.