Matematické Fórum

janka_smutna · 14. 03. 2013 21:08

Vandal vytrhol z knihy jeden list, na ktorom boli dve očíslované strany. Súčet čísel zvyšných strán knihy bol 7495. Zistite, koľko očíslovaných strán mala pôvodne kniha, ak číslovanie strán knihy začalo číslom 1.
Potrebujem postup k tejto úlohe.

miso16211 · 14. 03. 2013 21:17

123 mi vychádzlo ale ze vraj zle, tak neviem. Ja som prišiel na to odhadom, inac myslim ze poznaš moju stránku.

Arabela · 14. 03. 2013 21:36

Ahoj ↑ janka_smutna:,
ak mala kniha n strán, súčet čísel všetkých strán bol
1+2+3+...+n=n(n+1)/2.
Na vytrhnutom liste boli čísla x a x+1.
Platí:
1+2+3+...+n -x - (x+1)=7495
n(n+1)/2-2x-1=7495
n(n+1)/2=7496+2x
$n(n+1)=14992+4x$
V ďalšom by som urobila nejaký rýchly odhad cez odmocninu a jewden - dva pokusy, ktoré by viedli k cieľu (ak by som písala test a šlo by o čas), ale dá sa postupovať aj rigoróznejšie...

janka_smutna · 14. 03. 2013 21:43

ja som k tomu istemu dospela,ale chcem dalsi postup, ved to ma byt o pocitani ne o hadani riesenia...
taky priklad na maturite podla mna ani nemal byt.↑ Arabela:

Arabela · 14. 03. 2013 22:38

↑ janka_smutna:
v ďalšom môžu pomôcť tieto odhady:
$x<=n-1$
$4x<=4n-4$
$14992+4x<=14992+4n-4$
$14992+4x<=14988+4n$
$n(n+1) <=14988+4n$
$n^{2}-3n-14988<=0$
$(n-\frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}-14988<=0$
$|n-\frac{3}{2}|<=\sqrt{14990,25}$ ,
takže n musí byť >= nejakému zápornému číslu a súčasne n<=123,9346765.
Keďže n je prirodzené číslo, n<=123.
Vyskúšame n=123.
$\frac{n(n+1)}{2}=7626$
$\frac{n(n+1)}{2}=7496+2x$
$x=65$
Teda vandal vytrhol list s očíslovanými stranami 65,66.
Zistili sme, že n=123 vyhovuje zadaniu.
Keďže nám vyšlo n<=123, skśme aj menšie hodnoty, či náhodou úloha nebude mať viac riešení.
n=122:
122.123/2=7503
7503-7495=8
8=2x+1, kde x je prirodzené číslo ... nemá riešenie.
n=121:
121.122/2=7381,
čo je menej ako 7495 ... pre toto a menšie n úloha nemá riešenie.

Jediným riešením je n=123.

Jakub007 · 19. 03. 2013 18:40

↑ Arabela:
a prečo je tam to $x<=n-1$ ?

brodzko · 19. 03. 2013 19:31

↑ miso16211:

Odkiaľ máš že 123 je zlý výsledok? Podľa mňa je dobrý, a súhlasím s ↑ Arabela: čo sa postupu týka :)

Arabela

↑ Jakub007:
n je poradové číslo poslednej strany, x a x+1 sú poradové čísla strán na vytrhnutom liste. V extréme by mohlo platiť x+1=n (keby bol vytrhnutý posledný list), ale mohlo byť aj x+1<n. Spolu x+1<=n, čiže x<=n-1.

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2013 21:08

príklad z maturity - 2

#2 14. 03. 2013 21:17

Re: príklad z maturity - 2

#3 14. 03. 2013 21:36

Re: príklad z maturity - 2

#4 14. 03. 2013 21:43

Re: príklad z maturity - 2

#5 14. 03. 2013 22:38

Re: príklad z maturity - 2

#6 19. 03. 2013 18:40

Re: príklad z maturity - 2

#7 19. 03. 2013 19:31

Re: príklad z maturity - 2

#8 19. 03. 2013 19:33 — Editoval Arabela (19. 03. 2013 19:34)

Re: príklad z maturity - 2

Zápatí