Matematické Fórum

Gambrielka · 19. 03. 2013 21:28

Prosím o pomoc s příkladem na kružnici, nevím vůbec, jak začít, analytická geometrie mi dělá docela probém...

Zadání: Je dána kružnice k o rovnici $x^2+y^2=a^2$ . Z jejího bodu $A[a;0]$ jsou vedeny všechny možné tětivy. Určete množinu středů těchto tětiv.

Bohužel vůbec netuším, jak začít. Leží snad množina středl tětic na Thalletovce? Nevím... Předem děkuji za radu.

janca361 · 19. 03. 2013 22:10

↑ Gambrielka:
Úvodní otázka - víš co je to tětiva?

Takjo · 19. 03. 2013 22:32

↑ Gambrielka:
Dobrý den,
možná by to mohlo vypadat nějak takhle:

Na vás je napsat rovnici té kružnice... :)

Gambrielka · 19. 03. 2013 22:59

↑ janca361:
no myslím, že vím :D přímka, co protíná kružnici v určitých dvou bodech...? takhle by mě ten obrázek vůbec nenapadnul, já si to představovala úplně jinak :D njn, jak říkám, analytická geometrie není má silná stránka... děkuji za náčrtek, já nad tím popřemýšlím hned zítra, dneska už toho mám až nad hlavu...

zdenek1 · 19. 03. 2013 23:46

↑ Gambrielka:
Budeme sečnu, na které leží tětiva, hledat ve tvaru $y=k(x-a)$
dosazením do rovnice kružnice dostaneme
$x^2+k^2(x-a)^2=a^2$
$(k^2+1)x^2-2ak^2x+a^2(k^2-1)=0$
To je kvadratická rovnice, která má řešení
$x_1=a$ - to nás nezajímá, to je bod $A$
$x_2=\frac{a(k^2-1)}{k^2+1}$ - to je ten druhý bod
jeho $y$ -ová souřadnice je $y=k\left(\frac{a(k^2-1)}{k^2+1}-a\right)=\frac{-2ak}{k^2+1}$
Druhý koncový bod tětivy je tedy $B\left[\frac{a(k^2-1)}{k^2+1};\frac{-2ak}{k^2+1}\right]$
Střed úsečky $AB$ je $S\left[\frac{ak^2}{k^2+1};\frac{-ak}{k^2+1}\right]$

Takže dostáváme množinu bodů, pro jejichž souřadnice platí:
$\begin{cases}x=\frac{ak^2}{k^2+1}\\y=\frac{-ak}{k^2+1}\end{cases}$
Z první rovnice vyjádříme $k=\sqrt{\frac x{a-x}}$
a dosadíme do druhé
$y=\frac{-a\sqrt{\frac x{a-x}}}{\frac{x}{a-x}+1}=\sqrt{\frac{x}{a-x}}(x-a)$
umocněním
$y^2=ax-x^2$
$x^2-ax+y^2=0$
$\left(x-\frac a2\right)^2+y^2=\frac{a^2}4$

BakyX · 20. 03. 2013 01:21

↑ Gambrielka:

Stred $S$ nejakej tetivy $AB$ je obraz bodu $B$ v rovnoľahlosti so stredom $A$ a koeficientom $\frac{1}{2}$ . Body $B$ vypĺňajú všetky body kružnice okrem $A$ .

Hľadaná množina je preto obraz tejto kružnice v rovnoľahlosti so stredom $A$ a koeficientom $\frac{1}{2}$ , pričom je z nej vybratý bod $A$ .

Ľahko sa ukáže, že jej stred leží v strede spojnice $A$ a stredu kružnice. Jej polomerom je zrejme polovička polomeru veľkej kružnice. Ľahko teda túto množinu určíme aj analyticky.

Gambrielka · 20. 03. 2013 17:21

↑ zdenek1:

Páni, tak to už je trošku jiný level :D aspon teda pro mě... No a mohu se zeptat hned na první krok, proč má ta sečna právě tento tvar? $y=k(x-a)$ Děkuji.

Gambrielka · 20. 03. 2013 17:26

↑ BakyX:

Kdyby to ale šlo určtit takto rovnou, tak je množinou středů všech tětiv tedy kružnice, která je poloviční k zadané kružnici a prochází bodem A a středem S, takže by její rovnice byla $k:x^2+y^2=1/2a^2$ ?? To je asi špatně, že...??

Takjo · 20. 03. 2013 17:29

↑ Gambrielka:
Dobrý den,
jakoukoliv přímku, procházející daným bodem např. $B$ o souřadnicích $B\equiv [x_{B};y_{B}]$
můžete napsat takto: $y-y_{B}=k(x-x_{B})$
a ve vašem případě dosadíte souřadnice bodu $A\equiv [a;0]$

zdenek1 · 20. 03. 2013 17:33

↑ Gambrielka:
Protože směrnicový tvar přímky, která prochází bodem $A[x_0;y_0]$ je $y-y_0=k(x-x_0)$ (1)
O tom se snadno přesvědčíš.
Když máš přímku
$y=kx+q$ a na ní bod $A$ , jeho souřadnice musí splňovat rovnici
$y_0=kx_0+q$
Když tyto dvě rovnice odečteš, dostaneš (1)

Ta rovnice $k:x^2+y^2=1/2a^2$ je špatně.
a) poloměr je $\frac a2$ a "na druhou" musí být celý (i s tou dvojkou)
b) střed té kružnice není $[0;0]$ , ale $[\frac a2;0]$
Takže správná je ta rovnice z mého příspěvku
$\left(x-\frac a2\right)^2+y^2=\frac{a^2}4$

Gambrielka · 20. 03. 2013 18:36

Anoo, tak jsem zdárně pochopila směrnicový tvar, ale samozřejme jsem se sekla na dalším bodě... :// Ještě jsem došla ke kvadratické rovnici $(k^2+1)x^2-2ak^2x+a^2(k^2-1)=0$ , ale za boha nemohu přijít na ty kořeny, úplně jsem se do toho zaplantala...
$x_{1,2}=\frac{2ak^2\pm \sqrt{4a^2k^4-4.(k^2+1).a^2.(k^2-1)}}{2.(k^2+1)}$ ... je to prosim takto? Dále už mi to moc nejde...

zdenek1 · 20. 03. 2013 18:44

↑ Gambrielka:
Takže si nejdřív spočítáme jenom diskriminant
$D=4a^2k^4-4a^2\underbrace{(k^2+1)(k^2-1)}_{k^4-1}=4a^2$

a dále
$x_{1,2}=\frac{2ak^2\pm2a}{2(k^2+1)}$
a v čitateli vytkneš $2a$

Gambrielka · 20. 03. 2013 19:38

Jupiii, vyšlo mi to konečně :)) opravdu děkuji moc, nikdy bych na to sama nepřišla :)))

Matematické Fórum

#1 19. 03. 2013 21:28

Kružnice

#2 19. 03. 2013 22:10

Re: Kružnice

#3 19. 03. 2013 22:32

Re: Kružnice

#4 19. 03. 2013 22:59

Re: Kružnice

#5 19. 03. 2013 23:46

Re: Kružnice

#6 20. 03. 2013 01:21

Re: Kružnice

#7 20. 03. 2013 17:21

Re: Kružnice

#8 20. 03. 2013 17:26

Re: Kružnice

#9 20. 03. 2013 17:29

Re: Kružnice

#10 20. 03. 2013 17:33

Re: Kružnice

#11 20. 03. 2013 18:36

Re: Kružnice

#12 20. 03. 2013 18:44

Re: Kružnice

#13 20. 03. 2013 19:38

Re: Kružnice

Zápatí