Matematické Fórum

betka · 20. 03. 2013 19:58

ahojte, mám taký problém a neviem sa vôbec pohnúť. Mám vyrátať všetky lokálne aj globálne extrémy funkcie na intervale I=<-3,3>. Funkcia je f: y= 3x^4-28x^3+84x^2-96.
Vie mi s tým niekto prosím Vás pomôcť :)

MirekH · 20. 03. 2013 20:11

Po zderivování dostaneš kubickou rovnici s jediným kořenem, druhou derivací určíš (nebo podle monotónnosti), zda se jedná o minimum či maximum. Potom do zadání dosadíš krajní meze intervalu a zjistíš, zda se také nejedná o minimum/maximum.

betka · 20. 03. 2013 21:58

↑ MirekH:ano, spravila som prvu derivaciu, ked som si z nej vynala x, tak som dostala x=0 a dalej som dostala kvadraticku rovnicu, ale nakolko mi determinant vysiel zaporny tak uz korene sa mi nedaju najist ci?

MirekH · 20. 03. 2013 22:13

Jak jsem psal, ta rovnice má pouze jeden kořen, a to je právě nula. Záporný determinant ti říká, že další kořeny už neexistují (v oboru reálných čísel). Po dosazení nuly do původní rovnice máš tedy lokální minimum -96. Dosazením mezí intervalu dostaneš hodnoty 147 (horní mez) a 1659 (dolní mez). V bodě -3 je tedy globální maximum a globálním minimem je již nalezené lokální minimum.

Hodnoty doporučuju přepočítat, mohl jsem se překlepnout.

betka · 20. 03. 2013 22:17

↑ MirekH:
hodnoty su spravne takto mi to vyslo :) dakujem

betka · 21. 03. 2013 13:24

Môžem ešte otázočku. Ja som sa pomýlila a zabudla som tam napísať jedno x...čiže funkcia budev konečnom dôsledku takáto f: y= 3x^4-28x^3+84x^2-96x na intervale I=<-3,3>
Bude to stále to isté, tie isté výsledky, alebo sa mi tam niečo mení?

martisek

↑ betka:

To je bohužel něco trochu jiného, protože v té první derivaci si už x nevytkneš :-(

Ale jak jsem si to v rychlosti čmárnul, vypadá to, že jeden stacionární bod bude 2, takže pak to povede opět na kvadratickou rovnioci. Musím běžet - v případě potřeby na to mrknu kvečeru.

betka · 21. 03. 2013 14:14

↑ martisek:
no ved prave :/ a toto teda neviem :/ ak by ste boli takí dobrí pozreli by ste mi to? porpipade nejaky navod ako sa to robi. dakujem

Takjo · 21. 03. 2013 14:24

↑ betka:
Dobrý den,
- první derivace vaší funkce je: $12x^{3}-84x^{2}+168x-96$
- tu položíme rovnu 0 a vydělíme 12, čímž dostaneme: $x^{3}-7x^{2}+14x-8=0$
- odhadneme, že jeden kořen je roven 1
- vydělíme mnohočlen mnohočlenem: $(x^{3}-7x^{2}+14x-8):(x-1)=x^{2}-6x+8$
- kořeny (a tedy i body podezřelé z extrému) jsou: $x_{1}=1$
$x_{2}=2$
$x_{3}=4$ neleží v definovaném intervalu (nebude řešením)
- zjistíte funkční hodnoty v bodech: -3 ; 1 ; 2 ; 3
- největší hodnota bude globální maximum, nejmenší globální minimum

martisek

↑ betka: ↑ Takjo:

Odhadovat netřeba - jak jsem psal už po poledni, jeden kořen je dvě:

$x^{3}-7x^{2}+14x-8=0$

$x^{3}-8 -7x(x-2)=0$

$(x-2)(x^2+2x+4)-7x(x-2)=0$

$(x-2)(x^2+2x+4-7x)=0$

Takže x_1=2 a dále řešíme kvadratickou rovnici x^2 - 5x + 4 = 0.

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2013 19:58

Lokálne a globálne extrémy

#2 20. 03. 2013 20:11

Re: Lokálne a globálne extrémy

#3 20. 03. 2013 21:58

Re: Lokálne a globálne extrémy

#4 20. 03. 2013 22:13

Re: Lokálne a globálne extrémy

#5 20. 03. 2013 22:17

Re: Lokálne a globálne extrémy

#6 21. 03. 2013 13:24

Re: Lokálne a globálne extrémy

#7 21. 03. 2013 13:50 — Editoval martisek (21. 03. 2013 13:53)

Re: Lokálne a globálne extrémy

#8 21. 03. 2013 14:14

Re: Lokálne a globálne extrémy

#9 21. 03. 2013 14:24

Re: Lokálne a globálne extrémy

#10 21. 03. 2013 17:38 — Editoval martisek (21. 03. 2013 17:39)

Re: Lokálne a globálne extrémy

Zápatí