Matematické Fórum

Ahoj ↑ steeldog:,
ide o permutácie bez opakovania.
a) Máme n dievčat v rade a môžeme rôznym spôsobom meniť ich poradie - ten počet spôsobov je n! (na 1.mieste ľubovoľné z n dievčat, na druhom ľubovoľné zo zvyšných n-1 dievčat, atď) Podobne počet možných poradi chlapcov je m! Keďže každé poradie dievčat môže byť skombinované s každým poradím chlapcov, podľa kombinatorického pravidla súčinu je výsledok n!m!
b) tejto podmienke vyhovuje výsledok z a), ale môže to byť aj naopak (v áčku stáli najskôr dievčatá, potom chlapci, no a tu to môže byť aj tak, ale aj tak, že najskôr chlapci a potom dievčatá. Oproti prípadu a) sa počet možností zdvojnásobí,
takže 2n!m!
c) Najskôr uvažujme, že skupina chlapcov tvorí nedeliteľný "kompakt" a počítajme s ním ako s jedným prvkom. Máme teda (n+1) prvkov a tieto permutujeme (zamieňame v nich poradia), čo sa dá nuskutočniť (n+1)! spôsobmi. Pri každom takomto poradí však môžeme rôzne zamieňať poradie chlapcov v "kompakte", takže sa nám počet možností "rozmnoží" o počet možných poradí chlapcov.
Výsledok (n+1)!m!

↑ steeldog:
tu na fóre by mala mať každá úloha svoje samostatné "vlákno"...
Ale pre tentoraz urobme výnimku.
258!=1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12. ... .258
Uvedomíme si, že číslo končí n nulami práve vtedy, ak je deliteľné číslom .
S mocninami čísla dva si nemusíme robiť starosti, tých je tam dosť (v rozpise 258!), veď každý druhý činiteľ je párny. Všetko bude závisieť od toho, koľko "pätiek" tam napočítame. Každé piate číslo je deliteľné piatimi, každé dvadsiatepiate je deliteľné dvadsiatimipiatimi, každé stodvadsaťpiate stodvadsaťpiatimi...
258:5=51,...
258:25=10,...
258:125=2,...
Z toho, že každé piate je deliteľné piatimi, dostaneme 51 výskytov čísla 5 v rozpise toho faktoriálu, ak by sme si jednotlivé činitele predstavili rozložené na prvočísla.
Na každom 25. mieste pribudne ďalší výskyt čísla 5, a tých je 10.
Na každom 125. mieste ďalší, a tie sú 2.
Spolu 51+10+2=63.

Do kruhového objezdu se 4 vjezdy vjela současně 4 auta, každé z nich z jiné silnice. Žádné z aut neobjede celý kruhový objezd a každým výjezdem vyjede jedno auto. Kolika způsoby mohou auta projet tento kruhový objezd?