Matematické Fórum

cmaja · 27. 12. 2008 20:09

Nevím si rady s tímto příkladem potřebuji pomoct děkuji
Jsou zadány vektory a=(1,2,0) b=(1,0,-1) c=(-1,x,2)
ukoly k tomuto:
a) určete pro jaká reálná čisla x tyto vektory tvoří bázi vektorového prostoru R^3
b) určete pro jaká reálná čisla x jsou tyto vektory lineárně zavyslé

lukaszh

↑ cmaja:
Aby tri vektory tvorili bázu R^3 musia byť lineárne nezávislé, teda hľadáš netriviálnu kombináciu koeficientov u,v,w, tak aby systém:
$\begin{pmatrix}1&1&-1\nl2&0&x\nl0&-1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}u\nlv\nlw\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\nl0\nl0\end{pmatrix}$
Môžeš použiť napríklad Gaussovu elimináciu.

EDIT: viď, príspevok od ↑ Marian: :-)

cmaja · 29. 12. 2008 17:30

To mi teda moc nejde gaussova eliminace. Mohl by jste mi prosím ukázet postup

lukaszh · 29. 12. 2008 18:03

↑ cmaja:
O Gaussovej eliminácii si môžeš prečítať napríklad tu http://user.mendelu.cz/marik/prez/matice-cz.pdf
$\begin{pmatrix}1&1&-1\nl2&0&x\nl0&-1&2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&-1\nl0&-2&x+2\nl0&-1&2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&-1\nl0&-2&x+2\nl0&0&2-\frac{x+2}{2}\end{pmatrix}$
K tomu aby tento systém mal riešenie iné ako nulový vektor (aby boli lineárne závislé), treba splniť podmienku:
$2-\frac{x+2}{2}=0$
Rovnosť nastane pre x = 2. Dostaneme systém:
$\begin{pmatrix}1&1&-1\nl0&-2&4\nl0&0&0\end{pmatrix}$
ktorý už má riešenie závislé od parametra phi:
$\{\left.\varphi\cdot\begin{pmatrix}-1\nl2\nl1\end{pmatrix}\right|\;\varphi\in\mathbb{R}\}$
Pre tieto kombinácie koeficientov u,v,w a x = 2 sú dané vektory lineárne závislé. Druhý prípad si skús rozobrať sama.

Marian · 29. 12. 2008 18:08 — Editoval Marian (29. 12. 2008 18:09)

↑ cmaja:
Vyřeš soustavu lineárních rovnic
$u+v-w=0,\qquad 2u+xw=0,\qquad -v+2w=0,$
přičemž potřebuješ najít taková čísla u, v, w, aby nebyla všechna rovna nule. Navíc jistě kombinace u=v=w=0 jistě splňuje soustavu výše. Pozor na x, je to de facto parametr.

Lze také postupovat tak, že najdeš hodnost matice uvedenou v příspěvku ↑ lukaszh: zcela vlevo.

Pozn. pro ↑ lukaszh:
Pouze drobnost ti unikla ve tvém příspěvku. Na pravé straně by to mohlo být více specifikováno, co to je $\vec{0}$ . Pokud je to nulová matice, není zřejmé, jakého je typu (byť to vyplývá z levé strany, to však stále neopravňuje k jednoduchému napsání znaku $\vec{0}$ ). Pokud $\vec{0}$ má značit nulový vektor, pak je nutno psát $\vec{0}^{\text{T}}$ .

Setkal jsem se s označením nulové matice také jako $\mathbf{\text{O}}$ . Snad bychom mohli také psát $\mathbf{\text{O}}_{m,n}$ jako nulovou matici typu m,n.

lukaszh · 29. 12. 2008 18:11

↑ Marian:
Opraveno :-)

cmaja · 29. 12. 2008 20:31

Promintě že vás tak otravuju, ale matice a vůbec vektory mně nejdou. Matice jenom s čísli tak nějak vypočitám, ale jak jsou tam neznamy tak si nevím rady. Takže x=2 je výsledek pro bazí, tedy dosadí-li se za x=2 tak už tvoří bázi prostorového vektoru?? Jestli ne, tak jsem to ted nepochopil

cmaja · 30. 12. 2008 15:42

Prosím jak mám vypočítat tu bázi vektorového prostoru??

cmaja · 03. 01. 2009 14:04

pomůže mi prosím teda někdo??

Matematické Fórum

#1 27. 12. 2008 20:09

Baze vektorového prostoru a LZ

#2 27. 12. 2008 20:39 — Editoval lukaszh (29. 12. 2008 18:11)

Re: Baze vektorového prostoru a LZ

#3 29. 12. 2008 17:30

Re: Baze vektorového prostoru a LZ

#4 29. 12. 2008 18:03

Re: Baze vektorového prostoru a LZ

#5 29. 12. 2008 18:08 — Editoval Marian (29. 12. 2008 18:09)

Re: Baze vektorového prostoru a LZ

#6 29. 12. 2008 18:11

Re: Baze vektorového prostoru a LZ

#7 29. 12. 2008 20:31

Re: Baze vektorového prostoru a LZ

#8 30. 12. 2008 15:42

Re: Baze vektorového prostoru a LZ

#9 03. 01. 2009 14:04

Re: Baze vektorového prostoru a LZ

Zápatí