Matematické Fórum

cs.pata

čaute dostali jsme příklad do projektu na matematiku :
Určete hodnotu křivkového integrálu $\int_{\Gamma }^{}5z*\cos (5z)dz$ kde $\Gamma :z(t)=-\frac{\pi }{2}e^{jt}$ , t náleží $\langle0,\pi \rangle$

začátek mám ale nevím jak mám dále postupovat:( prosím o rádu

DERIVACE: $z(t)=-\frac{\pi }{2}je^{jt}$
podle vzorce jsem dosadil ale nevím jak mám ted ten integrál upravit
$\int_{\Gamma }^{}5z*\cos (5z)dz =\int_{0}^{\pi }(-5\frac{\pi }{2}e^{jt}*cos(-5\frac{\pi }{2}e^{jt})*(-\frac{\pi }{2}je^{jt})dt$

Rumburak · 22. 03. 2013 16:35

↑ cs.pata:
Ahoj.
Já bych na to raději šel přes primitivní funkci. Metodou per partes dostaneme

$F(z) := \int 5z\,\cos (5z)\,\mathrm{d}z = z \sin 5z - \int \sin (5z)\,\mathrm{d}z = z \sin 5z + \frac{1}{5}\,\cos 5z + C$ .

$\int_{\Gamma }^{}5z\,\cos (5z)\,\mathrm{d}z = F(z(\pi)) - F(z(0)) = ...$

Proč je zde takový postup možný ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

cs.pata

↑ Rumburak:
tuto látku teprvé probíráme ale nikde ve skriptech jsem nenarazil na tento postup, všechny příklady jsou řešeny tak že se dosadí do vzorce $\int_{\Gamma }^{}f(z)dz=\int_{\alpha }^{\beta }f(z(t))*z'(t)dt$ a teprve integruje. Nezmění ze tvým postupem výsledné hodnoty ?

Rumburak · 22. 03. 2013 16:58

↑ cs.pata:

Mělo by to vyjít nastejno, "můj" postup je méně náročný na počítání.

cs.pata · 22. 03. 2013 17:08

↑ Rumburak:
dobře, ale nevim jak to mám přesně dosadit,a využiju tam někde to derivované z(t) nebo je ted zbytečne ?

Rumburak

↑ cs.pata:

$\Gamma :z(t)=-\frac{\pi }{2}e^{jt}, t \in \langle0,\pi \rangle$ , čili
$z(0)=-\frac{\pi }{2}e^{0} =-\frac{\pi }{2}$ , $z(\pi)=-\frac{\pi }{2}e^{j\pi} =-\frac{\pi }{2} \cdot \cos\pi = \frac{\pi }{2}$ ,

to dosadíme do $F(z(\pi)) - F(z(0))$ , kde $F(z)$ je funkce určená v mém prvním příspěvku.

cs.pata · 22. 03. 2013 17:20

↑ Rumburak:
jestli jsem to správně pochopil a dobře dosadil tak mi to vycházi ted tolik
$\int_{\Gamma }^{}5zcos5zdz=F(z(\pi ))-F(z(0))=-\frac{\pi }{2}e^{jt}*sin(-\frac{5\pi }{2}e^{jt})+\frac{1}{5}cos(-\frac{5\pi }{2}e^{jt})-\frac{\pi }{2}$

cs.pata · 22. 03. 2013 17:22

↑ Rumburak:jo aha děkuju už chápu :) promin v tomhle tématu zatim plavu díky za vysvětlení :)

Rumburak · 22. 03. 2013 17:23

↑ cs.pata:
To je špatně, pravá strana nemůže záviset na t .

cs.pata · 22. 03. 2013 17:30

↑ Rumburak:
tak když jsem to ted dosadil do $F(z(\pi ))-F(z(0))=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=0$ může to tak vyjít nulové ?

Rumburak · 23. 03. 2013 09:27

↑ cs.pata:

Ano.

Funkce $F$ je sudá (splňuje $F(-z) = F(z)$ ) a platí $z(\pi) = \frac{\pi}{2}=-z(0)$ , proto skutečně

$F(z(\pi)) - F(z(0)) = F(-z(0)) - F(z(0)) = F(z(0)) - F(z(0)) = 0$ .

Tvůj výpočet je také správně.

George5 · 20. 04. 2013 22:11

Zdravím, dělám stejný projekt s jinými čísly, tak jsem se sem přišel inspirovat :-) jinak jestli se mohu zeptat, jak určím, že je funkce holomorfní Couchy-Riemanovi podmínky? A kdyby holomorfní nebyla musel bych to vzít přes parametrizované přímky? Děkuji za vysvětlení ;-)

Matematické Fórum

#1 22. 03. 2013 16:14 — Editoval cs.pata (22. 03. 2013 16:15)

Integrál z funkce komplexní proměnné

#2 22. 03. 2013 16:35

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#3 22. 03. 2013 16:40 — Editoval cs.pata (22. 03. 2013 16:41)

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#4 22. 03. 2013 16:58

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#5 22. 03. 2013 17:08

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#6 22. 03. 2013 17:19 — Editoval Rumburak (22. 03. 2013 17:19)

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#7 22. 03. 2013 17:20

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#8 22. 03. 2013 17:22

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#9 22. 03. 2013 17:23

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#10 22. 03. 2013 17:30

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#11 23. 03. 2013 09:27

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

#12 20. 04. 2013 22:11

Re: Integrál z funkce komplexní proměnné

Zápatí