Matematické Fórum

JohnNash · 22. 03. 2013 21:50

Mějme matice $A,B\in T^{n,n}$ , pro které platí, že součet prvků na každém řádku je roven 1. Chci dokázat, že matice AB má také na každém řádku součet prvků roven 1. Jak to udělat?
Děkuji.

Stýv · 22. 03. 2013 22:01

stačí to prostě upočítat

JohnNash · 22. 03. 2013 22:06

↑ Stýv:
To je rada jak noha :-D tzn.?

vanok · 22. 03. 2013 22:06

$T^{n,n}$ to je co?

JohnNash · 22. 03. 2013 22:08

↑ vanok:
prostě čtvercová matice řádu n s prvky z nějakého tělesa T

vanok · 22. 03. 2013 23:35 — Editoval vanok (22. 03. 2013 23:43)

Najprv skus vynasobit tuto maticu $\left(\begin{array}{cc} \frac 12 & \frac 12 \\ \frac 12 & \frac 12 & \end{array}\right)$ samou sebou

JohnNash · 23. 03. 2013 00:05

↑ vanok:
takovy srandy uz jsem delal, dokazal jsem si to obecne pro matici 2x2, ale nevim jak to zobecnit pro nxn, indukce je kravina, ale jiny napad nemam

Stýv · 23. 03. 2013 00:38

↑ JohnNash: jak vypadá prvek $c_{ij}$ matice $C=AB$ , kde $A=(a_{ij})$ a $B=(b_{ij})$ ? (tj. jak je definováno maticový násobení?)

JohnNash · 23. 03. 2013 01:12

$\sum_{s=1}^{n}a_{is}b _{sj}$ ↑ Stýv:

Stýv · 23. 03. 2013 01:19

↑ JohnNash: správně. jak teda vypadá součet k-tého řádku?

JohnNash · 23. 03. 2013 01:28

$\sum_{j=1}^{n}\sum_{s=1}^{n}a_{ks}b _{sj}$

vanok · 23. 03. 2013 01:37 — Editoval vanok (23. 03. 2013 01:38)

Myslel som ze to ti skoci do oci na tom jednoduchom priklade.
Tak ti napisem ako som to trochu zobecnil na matice typu (n,n)
Ak $A= (a_{ij})$ a $B=(b_{ij})$ , napisem maticu $A(b_{i1})$ , cize maticu $A$ vynasobenu prvym stlpcom matice $B$ .
( analogickymy uvahamy dostanes vseobecny vysledok)
Cize dostanes stlpcovu maticu, ktorej prvky su

$a_{11}b_{11}+ ... a_{1n}b_{n1}$
...

$a_{n1}b_{11}+ ... a_{nn}b_{n1}$

Teraz pozoruj, ak chces najst sucet vsetkych prvkov najdenej stlppcovej matice, mozes vypocet organizovat tak ze :
spocitas najprv vsetky prvky co su nasobene cislom $b_{11}$ , co da

$(a_{11}+ ...a_{n1})b_{11} = 1*b_{11}$
a podobne pre dalsie prvky nasobene cislom $b_{21}$

atd, atd ...

poznamka: nejdeo nic ine ako o reorganizaciu vypoctu CELEHO suctu prveho stlpca matice $AB$

A toto iste mozes ANALOGICKY opakovat pre dalsie stlpce a aj riadky.