Matematické Fórum

bejf · 22. 03. 2013 21:58 — Editoval bejf (22. 03. 2013 22:23)

Ahoj, nevím si rady s další rovnicí, trochu mě to mate.
Řešte v R rovnici:
$tg2x\cdot cotgx=cotg2x\cdot tgx$ .
Můj postup:
$tg2x$ si převedu na $\frac{sin2x}{cos2x}$ , obdobně i $cotg2x$ na $\frac{cos2x}{sin2x}$ a $tgx$ , $cotgx$ taky, takže dostanu:
$\frac{sin2x}{cos2x}\cdot \frac{cosx}{sinx}=\frac{cos2x}{sin2x}\frac{sinx}{cosx}$
Potom si ty výrazy upravím podle vzorců pro dvojnásobný kořen, ale pak už s tím nemůžu hnout. Děkuji za případné rady.

martisek · 22. 03. 2013 22:04

↑ bejf:

Pozor!

$\frac{sin2x}{cos2x}\cdot \frac{sinx}{cosx}=\frac{cos2x}{sin2x}\frac{cosx}{sinx}$

je špatně - jsou tam přehozené siny a kosiny. Správně má být

$\frac{sin2x}{cos2x}\cdot \frac{cosx}{sinx}=\frac{cos2x}{sin2x}\frac{sinx}{cosx}$

bejf · 22. 03. 2013 22:23

↑ martisek:
Jasně ano, samozřejmě jsem udělal chybu tady na fóru. Opravím to. Jinak na papíře počítám tak jak píšeš ty. :-)

zdenek1 · 22. 03. 2013 22:51

↑ bejf: Proč tak složitě?
Pro $x\ne\frac{k\pi}4$
$\tan^22x=\tan^2x$
$\tan2x=\pm\tan x$
a) $\tan2x=\tan x$
$2x=x+k\pi$
$x=k\pi$ není řešení (podmínky)

b) $\tan2x=-\tan x=\tan(-x)$
$2x=-x+k\pi$
$x=\frac{k\pi}3$

bejf · 22. 03. 2013 23:23 — Editoval bejf (22. 03. 2013 23:24)

↑ zdenek1:
Myslel jsem si, že bych se k tomu nějak mohl dostat přes sinx a cosx. Tvůj postup mě nenapadl a ani ho popravdě celkem moc nechápu.
Rozuměl bych tomu, jak jsi došel na $tg^22x$ na levé straně, ale už mi uniká jak jsi došel k té pravé straně.
A výsledek by měl být $\bigcup_{k\in Z}^{}\{\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{2}{3}\pi+k\pi\}$ . Tak právě už vůbec nějak nevím.

zdenek1 · 22. 03. 2013 23:39

↑ bejf:
K pravé straně dojdeš úplně stejně jako k levé: $\frac{\tan x}{\text{cotg}\, x}=\tan^2x$

$\bigcup_{k\in Z}^{}\{\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{2}{3}\pi+k\pi\}$ je dobře.
Z toho mého ho dostaneš, když vyloučíš podmínky (což jsem udělal v a), v b) už jsem to nepsal, ale udělat se to samozřejmě musí)

bejf · 23. 03. 2013 08:14

↑ zdenek1:
Opravdu se omlouvám, ale stále nechápu tu pravou stranu. Asi se moje představa liší od tvého postupu.
Já si představil na levé straně $tg2x\cdot cotgx \Rightarrow tg2x\cdot \frac{1}{tgx} \Rightarrow tg^2 2x$ .
Což ale na pravé straně nejde. Takže asi postupuju špatně.

zdenek1 · 23. 03. 2013 08:37

↑ bejf:
$\text{tg}\,2x\cdot \text{cotg}\,x=\text{cotg}\,2x\cdot \text{tg}\,x$
$\frac{\text{tg}\,2x}{\text{cotg}\,2x}=\frac{\text{tg}\,x}{\text{cotg}\,x}$
$\frac{\text{tg}\,2x}{\frac{1}{\text{tg}\,2x}}=\frac{\text{tg}\,x}{\frac{1}{\text{tg}\,x}}$
$\text{tg}^22x=\text{tg}^2x$

bejf · 23. 03. 2013 11:43

↑ zdenek1:
Aha, no tak to mě mohlo napadnout no. Podmínky mi jsou jasné, ikdyž mi to dalo trochu práce. No ale dobré vědět, a moc děkuji za vysvětlení a za trpělivost. :-)

Matematické Fórum

#1 22. 03. 2013 21:58 — Editoval bejf (22. 03. 2013 22:23)

Goniometrická rovnice

#2 22. 03. 2013 22:04

Re: Goniometrická rovnice

#3 22. 03. 2013 22:23

Re: Goniometrická rovnice

#4 22. 03. 2013 22:51

Re: Goniometrická rovnice

#5 22. 03. 2013 23:23 — Editoval bejf (22. 03. 2013 23:24)

Re: Goniometrická rovnice

#6 22. 03. 2013 23:39

Re: Goniometrická rovnice

#7 23. 03. 2013 08:14

Re: Goniometrická rovnice

#8 23. 03. 2013 08:37

Re: Goniometrická rovnice

#9 23. 03. 2013 11:43

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí