Matematické Fórum

Andrejka3 · 23. 03. 2013 11:17

Ahoj,
chtěla bych najít jednotky v oboru integrity $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2};\;a,b\in \mathbb{Z}\}$ .
To jsou právě všechna $j \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}]:\; j\mid 1$ a to jsou právě všechny prvky invertibilní v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ .
Můj postup:

$(a+b\sqrt{2})^{-1}=\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}$
Čitatelé i jmenovatelé jsou celá čísla. Aby podíly byly celými čísly, musí
$(a^2-2b^2)\mid a \;,\quad (a^2-2b^2) \mid -b \;,$
což je ekvivalentní ( $-1$ je jednotkou v $\mathbb{Z}$ )
$|a^2-2b^2|\mid |a| \;,\quad |a^2-2b^2| \mid |b| \;.$ (xxx)
1)
Nechť $ab=0$ . Je-li $a=0$ , je první podmínka splněna triviálně. Druhá podmínka přejde na $2b^2 \mid |b|$ , jež je splněna jen pokud $b=0$ . Toto řešení nepřipadá v úvahu (hledáme inverze nenulových prvků). Pokud naopak $b=0$ , je druhá podmínka splněna triviálně a první přejde na $a^2 \mid |a|$ , odkud (opět monotonie uspořádání na násobení v $\mathbb{N}$ ) $|a|=1$ , tedy $\pm 1$ jsou jednotky.
2)
Ať $ab \neq 0$ . Nyní jsme se dostali k přirozeným číslům. Zde můžeme využít monotonie uspořádání vůči násobení: $n\mid m \Rightarrow n \leq m$ , neboť $n \mid m \Rightarrow \exists k \in \mathbb{N}:\; m=nk$ a triviálně $1\leq n$ , tedy $n\leq nk=m$ . Pro splnění (xxx) dostaneme nutné podmínky
$|a^2-2b^2|\leq |a| \;,\quad |a^2-2b^2| \leq |b| \;,$
Pokud (a,b) splnuje podminky, splnuje je i (+-a,+-b), takze si muzeme odpustit absolutni hodnoty vpravo a resit pro a,b prirozene.

Dál to nejsem schopna vyřešit. Wolfram problém nemá Odkaz.
Prosím o pomoc, jak to spočítat nebo navrhnout jiný postup.
Díky.

vanok · 23. 03. 2013 12:35 — Editoval vanok (23. 03. 2013 12:37)

Ahoj ↑ Andrejka3:,
Ja by som pouzil $N(a +b \sqrt2)=a^2 -2b^2$
Aky je suvis, inverzibilnych prvkov a $N(a+b \sqrt 2)=\pm 1$
Tiez tento automorfismus je zaujimavy:
$\mathbb{Z}[ \sqrt 2] \rightarrow \mathbb{Z}[ \sqrt 2]:a +b \sqrt2 \mapsto a -b \sqrt2$

Edit: aj na Pell-ove rovnice je uzitocne sa pozriet

Andrejka3

↑ vanok:
Díky, projdu si to.
Napadlo mě původně definovat takovou věc (normu)? jak jsi to udělal.
Chtěla jsem homomorfismus $(\mathbb{Z}[\sqrt{2}],\cdot) \rightarrow (\mathbb{Z},\cdot)$ . Navrhované mi $N(a +b \sqrt2)=a^2 -2b^2$ jsem zavrhla s tím, že to není homomorfismus. Rozmyslím si to.
Edit: aha, měla jsem tam misto minus plus. Teď jsem zvědavá, jak to vyjde...

Andrejka3 · 23. 03. 2013 13:43

↑ vanok:
To je zajímavé.
Máme automorfismus $\varphi: \mathbb{Z}[ \sqrt 2] \rightarrow \mathbb{Z}[ \sqrt 2]:a +b \sqrt2 \mapsto a -b \sqrt2$ , přičemž víme, že
$x\varphi(x) \in \mathbb{Z}$ . Tedy, označím-li toto zobrazení $\psi$ , je $\psi(xy)=xy\varphi(xy)=x\varphi(x)y\varphi(y)=\psi(x)\psi(y)$ .
Nikdy jsem si tohle neuvědomila!
Pak je převeden problém hledání jednotek v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ na nějaký problém v $\mathbb{Z}$ , jak píšeš, kde jednotky jsou +-1.
Myslím, že to už dodělám.
Děkuji mnohokrát.

PS Pellovy rovnice jsou na programu v blízké budoucnosti.

Andrejka3 · 23. 03. 2013 14:19

↑ Andrejka3:
Jo tak. Ta rovnice, $N(a+b \sqrt 2)=\pm 1$ je Pellova rovnice a je to nutná podmínka pro to, aby $(a+b\sqrt{2})$ byla jednotkou v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ .

vanok · 23. 03. 2013 15:20

Tu mas 2 "jednotky"

$1$
$3+2\sqrt2$

Zaujimave je, ze ich existuje nekonecne vela.
(cize dalsia otazka pre ktore $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$ je to tak?)

Andrejka3

↑ vanok:
Tak dneska jdu i z jiného důvodu na ty Pellovy rovnice (přes řetězové zlomky...)
$3+2\sqrt2$ generuje grupu, jak vím (celé mocniny tohoto čísla). Ani snad nechci vědět, kam povede hledání jednotek v $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ apod. Nebo možná jo, ale trápí mě, že to jsou velké partie co neznám. Hodně času...
Pro které $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$ jich (jednotek) existuje nekonečně mnoho? Když existují aspoň tři, tak jich bude už nekonečně mnoho.
Víc zatím nevím.
edit: místo celou grupu jen grupu. (zavádějící)

vanok · 23. 03. 2013 16:02

No problem z tymy kubickymy extensiamy sa mi zda komplikovany.
Nic ti nebrani to skusit, ale bude ti treba iste viac casu ako tento week-end.

Andrejka3 · 27. 06. 2013 11:46

↑ vanok:
Pellova rovnice
$x^2-2y^2=1$ . Hledám její fundamentální řešení (minimální kladné řešení).
Rozvoj $\sqrt{2}=(1,\overline{2})$ , tedy perioda je 1 a f.ř. je $(P_2,Q_2)=(3,2)$ .
Odtud plyne, že $I=\langle -1, 3+2\sqrt{2}\rangle_{\mathbb{Z}[\sqrt{2}]}$ je podgrupa všech jednotek, jež $\psi$ (↑ Andrejka3:) zobrazí na 1.
Řešit negativní Pellovy rovnice neumím.
Díky za rady.
A.

vanok · 27. 06. 2013 12:00

ahoj ↑ Andrejka3:,
Tu su odpovede na tvoj problem
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quat … ell-Fermat
Pozri aj anglicku verziu.

vanok · 27. 06. 2013 12:11

este mala poznamka.
$I=\langle -1, 3+2\sqrt{2}\rangle_{\mathbb{Z}[\sqrt{2}]}$ je grupa vsetkych jednotiek.
lebo grupy $(\mathbb{R}^*, x)$ su alebo monogenne alebo huste v $\mathbb{R}$ , a tu medzi $1$ a $3+\sqrt 2$ nie je ziadni prvok grupy.....

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2013 11:17

Jednotky v dělelní v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

#2 23. 03. 2013 12:35 — Editoval vanok (23. 03. 2013 12:37)

Re: Jednotky v dělelní v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

#3 23. 03. 2013 13:07 — Editoval Andrejka3 (23. 03. 2013 13:08)

Re: Jednotky v dělelní v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

#4 23. 03. 2013 13:43

Re: Jednotky v dělelní v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

#5 23. 03. 2013 14:19

Re: Jednotky v dělelní v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

#6 23. 03. 2013 15:20

Re: Jednotky v dělelní v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

#7 23. 03. 2013 15:27 — Editoval Andrejka3 (23. 03. 2013 15:39)

Re: Jednotky v dělelní v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

#8 23. 03. 2013 16:02

Re: Jednotky v dělelní v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

#9 27. 06. 2013 11:46

Re: Jednotky v dělelní v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

#10 27. 06. 2013 12:00

Re: Jednotky v dělelní v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

#11 27. 06. 2013 12:11

Re: Jednotky v dělelní v $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

Zápatí