Matematické Fórum

kolejo · 23. 03. 2013 16:05

Dobrý den,
chtěl bych požádat o pomoc s následujícím důkazem. Vím zhruba, jaké kroky realizovat, ale nejsem si úplně jistý, jakým způsobem:
$\text{Nechť } \varphi :U \rightarrow U \text{ je lineární operátor s vlastností }$
$\varphi (\varphi (u))=\varphi (u)$
$\text{pro všechna u } \in U$
$\text{Dokažte, že potom}$
$U=ker\varphi \oplus Im\varphi$
$\oplus \text{ značí direktní součet, tedy přímý}$

Ker a Im, jádro a obraz.
Direktní součet podprostorů znamená, že jejich průnik je nulový. Tedy vektor lze vyjádřit jednoznačně jako součet složky z jednoho a z druhého prostoru. Správně?

1) Nejdřív tedy chci ukázat, že každý vektor z U lze vyjádřit jako součet vektoru z Im a vektoru z ker.
2) Potom ukážu, že každý prvek z průniku ker a im je nulový.

1) Tady mám využít toho, že fí po fí=fí? Tedy pokud u patří do jádra, tak i fí(u) patří do jádra.
Prvky Im jsou fí(u). Jak ukážu, že každý vektor je součtem vektoru z Im a vektoru z Ker?

2) Vezmu nějaké u a řeknu, že patří průniku. Tedy patří do ker fí, zároveň patří do Im fí.
u patřící do ker fí implikuje fí(u) patřící do ker fí, tedy nemůže být v im fí. Je to správná úvaha?

Snad nevadí, že jsem místo $ker\varphi,im\varphi , \varphi (u)$ psal fí, fí, fí
Děkuji za rady,
kolejo

Andrejka3 · 23. 03. 2013 16:12

1) $u-\varphi(u)+\varphi (u)$ .

kolejo · 23. 03. 2013 16:15

↑ Andrejka3:
:), dobrý, jo, myslím, že chápu.
u-fí(u) je jádrová část, fí(u) je imageová část, je tak?
Děkuji

Andrejka3 · 23. 03. 2013 16:38

↑ kolejo:
Ano. Povedlo se ověřit? Pokud zůstává něco nejasného, ráda pomůžu.

kolejo · 23. 03. 2013 16:42

↑ Andrejka3:
Jó? No, velmi děkuji za pomoc.
Nevím stále s tou dvojkou. Mohla byste ještě něco nahodit? (nebo pokud přímo víte, tak takové radě se nebráním) Díky,
kolejo

Andrejka3

↑ kolejo:
$\mathrm{Im}\varphi \:\cap \: \mathrm{Ker}\varphi \supseteq \{0\}$ .
Ať $u$ je z toho pruniku.
Je z jadra (ker), takze $\varphi (u)=\dots$ ?
Na druhou stranu $\varphi(u)=u$ . Takže $u=\dots$

kolejo · 23. 03. 2013 16:54

↑ Andrejka3:
Pokud je u z pruniku a tedy z ker fi, tak fi(u)=0. (definice jádra, jasně)
Z toho ale, že je v obraze (Im fí), tak musí platit u=im fi, tedy takto čtu Vaše:
"Na druhou stranu $\varphi(u)=u$ "
tedy u je nulový vektor, z čehož vyplývá, že součet je direktní, tedy v průniku je pouze nulový vektor. Což jsme chtěli dokázat.
A my jsme to právě dokázali dokázat. Život je o něco krásnější. Tedy pokud se nemýlím.
Mohu označit za vyřešené? A ještě jednou velice poděkovat za pomoc?
kolejo

Andrejka3

↑ Andrejka3:
Promiň za nepřesnost.
$u \in \mathrm{Im}\varphi$ , takže pro nějaké $v \in U:\; \varphi (v)=u$ .
Je $0=\varphi (u)=\varphi(\varphi(v))=\varphi(v)=u$ .
První rovnost plyne z toho, že $u$ je z jadra. Druha rovnost plyne, ze u je z Image, treti rovnost z vlastnosti zobrazeni a posledni jsme uz pouzili...
Takze to $\varphi u=u$ plyne diky vlastnostem zobrazeni a toho ze je u= \varphi v (z image).
Ano, tímto je dokázáno, že průnik je jen $\{0\}$ a tímpádem je U direktnim souctem ker a im.
Edit: doplneni.