Matematické Fórum

kolejo · 23. 03. 2013 17:30

Dobrý den,
mám tu tvrzení s využitím věty o supremu. Snad vím správně, že jde o "každá neprázdná shora ohraničená množina má supremum".

V tomto případě ani nevím, jak a co...No podívejme se na to:

$\text{Nechť } I_{n}=[a_{n},b_{n}] \text{je posloupnost uzavřených intervalů taková, že } I_{n+1}\subseteq I_{n}$
$\text{Dokažte s použitím věty o supremu, že}$
$\bigcap\limits _{n=1}^{\infty } {I}_{n} \neq \emptyset$

$\text{Dokažte navíc, že když}$
$\lim_{n\to\infty }(b_{n}-a_{n})=0,\text{ pak průnik obsahuje jediný bod.}$

Vím, že když jde o supremum, mám najít nějakou neprázdnou množinu M, že dokážu, že s=sup M. Tady nevím a přiznám se, že vůbec netuším, jak vymyslet tu druhou část.

Děkuji za rady a pomoc,
kolejo

Hanis · 23. 03. 2013 17:48

Ahoj,

já uvažoval množinu levých krajních bodů intervalů I_i, tj body a_i...

kolejo · 23. 03. 2013 18:03

↑ Hanis:
Ahoj,
jo, to vypadá jako dobrá myšlenka. A už jsi to celé vyřešil? A ty ostatní? Né že bych začínal panikařit, alé...jistě mě chápeš.

jarrro · 23. 03. 2013 18:43 — Editoval jarrro (23. 03. 2013 18:45)

postupnosť $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ je neklesajúca a zhora ohraničená číslom $b_1$ , postupnosť $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ je nerastúca a zdola ohraničená číslom $a_1$ teda obidve postupnosti majú limitu rovnú supremu resp. infimu množiny jej členov teda prienik
$\bigcap\limits _{n=1}^{\infty } {I}_{n}=\left[\sup\limits_{n}{$a_{n}$}, \inf\limits_{n}{b_{n}}\right]$
ak sa to supremum rovná tomu infimu tak ide o jednoprvkovú množinu