Matematické Fórum

Dobrý večer,
tak se ještě pokusím o toto. Prosím o radu. Jde hlavně o tu jednu implikaci, opačný směr...no nevim.

Zadání:
Nechť U,V,W jsou vektorové podprostory vektorového prostoru Z.
U+V+U nechť je přímý součet, tedy každé z ∈ U+V+W je jednoznačně určeno jako z=u+v+w (tyto vektory jsou postupně z těch tří podprostorů). Tedy existuje právě jedno u, právě jedno v, atd...
Dokažte, že potom


Podprostory vždy obsahují nulu, součet tedy taky, takže ta nula v průniku opravdu je. Nyní, proč tam není nic jiného?

Zvolme , tedy víme, že a .
Můžeme tedy říct, že x=u+v (pro nějaké u z U, v z V) a zároveň x=w pro nějaké w z W.
Potom u+v=w, tedy u+v-w=0.
Nulový vektor ale můžeme zapsat aji jako 0+0+0=0, kde ta první nula je z U, druhá z V, třetí z W.
Z jednoznačnosti tedy plyne, že u=0, v=0, w=0 a tedy i každé x z onoho průniku je nula.
Což jsme chtěli dokázat! Uf...

Teda přiznám se, že jsem si na začátku psaní nevěděl moc rady. Postupně jsem na to však přišel a konečně mi něco nepřipadne težký. (to by bylo fakt blbý, kdyby někdo přišel s tím, že to je špatně tam a tam...a ano, o to jde, tedy...)
...nakonec se z toho vyklubala jen žádost o potvrzení, jestli to je v pořádku.

ps. na netu jsem hledal všude možně a nenašel jsem to s tím součtem, pouze že průnik dvou podprostorů z direktního součtu n podprostorů je nula...
2. ps. ten opačný směr je ze tří podmínek: součet dvou průnik s tím třetím, toto třikrát, pak že to implikuje, že součet je přímý

Díky,
kolejo