Matematické Fórum

Honza90 · 21. 03. 2013 17:51

Dobrý den. Mám za úkol ukázat, že každý podprostor konečnědimenzionálního normovaného prostoru je uzavřený. Takže jde vlatně o to ukázat, že u konečně mnoha dimenzí se nemůže stát, že by nějaká posloupnost vykonvergovala ven z prostoru jako je to třeba u prostoru polynomů, které konvergují k e^x. Našel jsem takovou lemmu, podle které každý konečně-dimenzionální prostor je Banachovský, tedy úplný(uzavřený), ale to by taky chtělo důkaz akorát su nejsem jistý, jestli je nutné jít na to touto cestou.

Stýv · 21. 03. 2013 18:17

vzal bych si nějakou bázi toho podprostoru a rozšířil ji na bázi celýho prostoru a využil toho, že posloupnost nulových souřadnic bude konvergovat k nulový souřadnici...

Honza90 · 21. 03. 2013 18:41

↑ Stýv:
dává to smysl, ale nevidím v tom to obecné $x_{n}\rightarrow x$

Stýv · 21. 03. 2013 19:25

↑ Honza90: nějak ti nerozumim. a nechci ti to naservírovat hned celý:)

Honza90 · 21. 03. 2013 22:30

↑ Stýv:
tak tedy, nechť $(V,||.||_{1})$ je normovaný lineární prostor, $dimV=n$ , $\{e_{1},..e_{n}\}$ jeho báze.
Prvek $x\in V$ lze vyjádřit jako $x=\sum_{k=1}^{n}\alpha _{k}e_{k}$ . Definujme normu $||.||_{2}:V\rightarrow \mathbb{R}$ , $||x||_{2}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}}$ .
Zřejmě existuje $c\in R$ takové, že platí nerovnost $||x||_{1}\le c\cdot ||x||_{2}$ pro $\forall x\in V$
Aby prostor byl úplný(nebo uzavřený..?) musí posloupnost $x_{1},x_{2}...$ konvergovat k nějakému $x\in V$ , což nastane právě tehdy, když pro $\forall \varepsilon \, \exists L\in \mathbb{N}:||x_{j}-x_{k}||_{1}<\varepsilon$ , $j,k>L$ .
Dále platí: $||x_{j}-x_{k}||_{1}\ge \frac{1}{c}\cdot ||x_{j}-x_{k}||_{2}=\frac{1}{c}\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(\alpha_{j,i}-\alpha _{k,i})^{2}}$ z toho plyne, že $\{\alpha_{k,1}\}_{k=1}^{\infty },\{\alpha_{k,2}\}_{k=1}^{\infty },...,\{\alpha_{k,n}\}_{k=1}^{\infty }$ jsou konvergentní posloupnosti.
Dále pro $k=1,2...$ máme: $||x-x_{k}||_{1}\le c\cdot ||x-x_{k}||_{2}= c\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(\alpha _{i}-\alpha _{k,i})^{2}}$
Tedy pro $k\rightarrow \infty$ $x_{k}$ konverguje k $x\in V$ .

Rumburak

↑ Honza90:

Ahoj.

Připadá mi, že jsi správně nepochopil nejen radu, kterou Ti dal ↑ Stýv:, ale ani tu úlohu.

Je dán LN prostor $(V,||.||_{1})$ konečné dimense a jeho podprostor $W$ . Máš dokázat, že $W$ je ve $(V,||.||_{1})$
uzavřenou množinou, což znamená, že pokud nějaká posloupnost $(w_n)$ prvků z $W$ má ve $(V,||.||_{1})$ limitu $w$ ,
potom $w\in W$ .

Honza90 · 22. 03. 2013 13:20

↑ Rumburak:
Tu radu jsem nepochopil. Ano nenapsal jsem tam, ze V je podprostor, ale princip důkazu bude asi stejný, ne?

Rumburak

↑ Honza90:

Aby prostor byl úplný(nebo uzavřený..?) musí posloupnost $x_{1},x_{2}...$ konvergovat k nějakému $x\in V$ , c

Která posloupnost je míněna ? O žádné konkretní se nezmiňuješ a obecně to jistě neplatí, i v úplném prostoru mohou existovat nekonvergentní
posloupnosti, v jeho uzavřeném podprostoru rovněž.

Ta část, která ukazuje, že Cauchyovská posloupnost má limitu (pokud se správně domýšlím, že o takový důkaz Ti šlo - nikde to nepíšeš),
je myšlenkově správně, ale chybí specifikace prvku $x$ , který má být touto limitou.

Když pomineme uvedené formální nadostatky, dokázal jsi větu, že každý reálný LN prostor konečné dimense je úplný.

A jak z toho odvodíš, že jeho podprostor je v tom "větším" prostoru kon. dimene uzavřenou množinou ?
I když je to celkem triviální, nelze toto finále důkazu pominout.

EDIT.
Úplnost prostoru je něco jiného než jeho uzavřenost. Mám dojem (již z prvního příspěvku), že máš tendenci je zaměňovat.

Honza90 · 23. 03. 2013 10:08

↑ Rumburak:
Rozdíl mezi uzavřenosti a úplnosti mi není úplne jasny, tím jsem možna měl začít.

Rumburak · 23. 03. 2013 12:37

↑ Honza90:

Mějme dejme tomu metrický prostor $(P, \varrho)$ .

I. Množina $A\subseteq P$ je uzavřená v prostoru $(P, \varrho)$ , právě když platí:
Je-li $(a_n)$ posloupnost prvků množiny $A$ mající v $(P, \varrho)$ limitu $a$ (tedy limita existuje a patří do množiny $P$ ),
potom $a \in A$ .

Příklady: Prázdná množina a množina $P$ jsou množiny uzavřené v $(P, \varrho)$ .

Definice uzavřenosti množiny bývá obvykle pojímána jinak, ale ekvivalentně s výše uvedenou větou.

II. Úplnost metrického prostoru znamená, ža každá cauchyovská posloupnost má v něm limitu.

Platí věta:
Nechť $(P, \varrho)$ je úplný metrický prostor, $M\subseteq P$ , $\varrho_M$ je zúžení metriky $\varrho$ na množinu $M$ . Potom $(M, \varrho_M)$ je
úplný podprostor prostoru $(P, \varrho)$ právě tehdy, je-li množina $M$ uzavřená v $(P, \varrho)$ .

Takže V RÁMCI ÚPLNÉHO PROSTORU $(P, \varrho)$ splývají pojmy jeho úplného podprostoru a uzavřeného podprostoru,
ale obecně tomu tak není.

Honza90 · 23. 03. 2013 23:25

↑ Rumburak:
Díky moc za vysvětlení. Takze je-li podprostor úplný pak je automaticky také uzavřený, ale může existovat uzavřený, který není úplný. Ale konečně dimenzionalni normované prostory jsou vždy úplné, takže v nich nemůže existovat otevřený podprostor. Dá se s tím souhlasit?

Rumburak

↑ Honza90:

S těmi pojmy nutno zacházet opatrně.

1) Úplnost PROSTORU (či jeho podprostoru) má absolutní platnost: daný prostor - ať již sám o sobě nebo jako podprostor jiného prostoru -
úplný buďto je nebo není, což závisí pouze na něm samém.

2) S otevřeností či uzavžeností PODMNOŽIN metrického prostoru $(P, \varrho)$ je tomu jinak. Zda jeho podmnožina $M$ je V NĚM otevřená,
uzavřena, obojetná (=zároveň otevřená i uzavřená), případně ani uzavřená ani otevřená (všechny tyto případy jsou teoreticky možné,
uzvřenost NENÍ negací otevřenosti), obecně závisí též na prostoru $(P, \varrho)$ . Hovoříme-li o otevřenosti nebo uzavřenosti množin,
měli bychom vždy uvádět, ke kterému prostoru je vztahujeme.

Příklady:
Podmnožiny $\emptyset, P$ metrického protstoru $(P, \varrho)$ jsou v něm obojetnými množinami .
Polouzavřený interval $[0, 1)$ v prostoru reálných čísel s eukleidovskou metrikou není ani uzavřenou ani otevřenou množinou,
ale v metrickém prostoru $$(-\infty, 1) ,\varrho$$ , kde $\varrho$ je příslušné zúžení eukleidovské metriky, je uzavřenou množinou.

Úvahu

Konečně dimenzionalni normované prostory jsou vždy úplné, takže v nich nemůže existovat otevřený podprostor.

nejspíš mysliš dobře, ale trochu bych ji přeformuloval, stručně dejme tomu takto:

Podprostor Y v LNP X konečné dimense má rovněž konečnou dimensi, proto je úplný, takže Y je množinou uzavřenou v X.

Matematické Fórum

#1 21. 03. 2013 17:51

uzavřenost normovaného podprostoru

#2 21. 03. 2013 18:17

Re: uzavřenost normovaného podprostoru

#3 21. 03. 2013 18:41

Re: uzavřenost normovaného podprostoru

#4 21. 03. 2013 19:25

Re: uzavřenost normovaného podprostoru

#5 21. 03. 2013 22:30

Re: uzavřenost normovaného podprostoru

#6 22. 03. 2013 11:16 — Editoval Rumburak (22. 03. 2013 11:19)

Re: uzavřenost normovaného podprostoru

#7 22. 03. 2013 13:20

Re: uzavřenost normovaného podprostoru

#8 22. 03. 2013 15:59 — Editoval Rumburak (22. 03. 2013 16:12)

Re: uzavřenost normovaného podprostoru

#9 23. 03. 2013 10:08

Re: uzavřenost normovaného podprostoru

#10 23. 03. 2013 12:37

Re: uzavřenost normovaného podprostoru

#11 23. 03. 2013 23:25

Re: uzavřenost normovaného podprostoru

#12 25. 03. 2013 10:07 — Editoval Rumburak (25. 03. 2013 11:24)

Re: uzavřenost normovaného podprostoru

Zápatí