Matematické Fórum

Marty88 · 25. 03. 2013 14:14

Ahoj,
mám dva úkoly:
a) Ověřte, že Q(√2) = { $a+b\sqrt{2}$ | a, b ∈ Q} s běžnými operacemi sčítání a násobení tvoří těleso.
b) Najděte nejmenší podtěleso tělesa R, které obsahuje $\sqrt[3]{2}$ . Toto těleso značíme Q( $\sqrt[3]{2}$ ).

U a) předpokládám, že bych měl zřejmě postupovat nějak pomocí axiomů tělesa - tedy ověřit komutativnost, asociativnost u sčítání a násobení, neutrální a inverzní prvky atd.. Popravdě moc nerozumím tomu zápisu tohoto tělesa a vůbec nevím jak bych měl při tomto důkazu postupovat, naťukne někdo řešení?

A u b) vůbec nevím jak postupovat :(

Díky za pomoc,
Martin

Andrejka3 · 25. 03. 2013 14:34

Ahoj.
Bez nějaké velké teorie:
ad a) máš ověřit, že $\{a+b \sqrt{2};\;a,b \in \mathbb{Q}\}=:M$ je nosičem tělesa. Zjevně je $M \subseteq \mathbb{R}$ .
Stačí tedy ověřit uzavřenost množiny $M$ na operace v tělese $\mathbb{R}$ . Pokud vyjde, že je uzavřená na všechny operace, pak bude podtělesem $\mathbb{R}$ a tedy tělesem (nosičem tělesa) -- není třeba ověřovat komutativitu atd. protože ta platí v celém $\mathbb{R}$ .

Shrnutí: ověř uzavřenost na +, násobení, unární operace opačného prvku, inverze.

ad b) Teorie říká, že $\mathbb{Q}$ je nejmenším podtělesem $\mathbb{R}$ . To ale neobsahuje tu odmocninu.
Tak máš množinu $\mathbb{Q}\cup \{\sqrt[3]{2}\}$ a vyrábíš těleso tak, že si vezmeš konečně mnoho jejích prvků a nějak je operacemi složíš dohromady. Třeba $\sqrt[3]{2} +1$ , nebo $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}$ a podobně. Tyhle čísla taky musí být v $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ , protože zjevně $\mathbb{Q}\cup \{\sqrt[3]{2}\} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ a $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ je uzavřeno na své operace. Časem třeba přijdeš na to, že se dá to těleso vyjádřit nějak hezky, podobně jako v a)

vanok · 25. 03. 2013 14:38

Ahoj ↑ Marty88:,
a) no nemusis takto vsetko podrobne overovat.
Komutaticne eleso = komutativna groupa pre +,
komutativna grupa pre ., na nenulovych prvokoch z T, z neutralnym prvkom 1 ( podla +)
a distributivita zakonu . vzladom ku +:na lavo a na pravo
b) pozri napr sem
http://en.wikipedia.org/wiki/Field_extension
Pouzi algebricku extensiu tellies ( nadtelies)

Marty88 · 25. 03. 2013 15:33

↑ Andrejka3:
Chápu to tedy správně, že předpis $a+b\sqrt{2}, a,b \in \mathbb{Q}$ generuje nějakou množinu prvků (např. $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\sqrt{2}$ )?
Stačí tedy udělat následující?
Sčítání:
$(a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2}) = (a+c)+(b+d)\sqrt{2}$
$(a+c);(b+d)$ budou racionální čísla
-> tedy uzavřenost pro sčítání platí
Násobení:
$(a*b\sqrt{2}) + (c*d\sqrt{2}) = (ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt2$
$(ac+2bd);(ad+bc)$ opět budou racionální čísla -> opět platí
Neutrální prvek:
Jen přičítám 0; resp. násobím 1.
Inverzní prvek:
Jen přičítám $(-a-b\sqrt2)$ ; resp. násobím převrácenou hodnotou.
Stačí tedy jen tohle? Nebo to pořád nechápu :/

U b) tedy hledám "předpis", který generuje celou množinu Q a k tomu ještě $\sqrt[3]{2}$ ? Nejjednodušší předpis by byl podobně jako v a) $a+b \sqrt[3]{2}; a,b \in Q$ , ale jestli je to to nejmenší těleso, to nevím... :/

vanok · 25. 03. 2013 15:53

a co si myslis o tomto:
$a+b \sqrt[3]{2}+ c \sqrt[3]{4}; a,b \in Q$ ?

hmmm
$4= 2^2$

Marty88

↑ vanok:
Myslím si, že nevím :/
Nechápu, proč je tam navíc ten člen $c\sqrt[3]{4}$ , vždyť k generování té množiny stačí ten kratší předpis, ne? Mám v tom asi trochu guláš..

vanok · 25. 03. 2013 16:43

Lebo by to nedalo dobru grupu pré zakon +.
Ale da sa k tomu dostat aj cez podielove struktury... Ale neviem v akom si rocniku.

martisek · 25. 03. 2013 16:55

↑ Marty88:

Prvky s členy $c\sqrt[3]{4}$ tam být musejí, protože je potřeba mít neomezeně definované násobení. Takže je-li např $r=1+\sqrt[3]{2}$ , $s=\sqrt[3]{2}$ , kolik je r.s ?

Marty88 · 25. 03. 2013 17:47

↑ martisek:
Á už to asi začínám chápat, díky všem :)
Tak ještě pro kontrolu:
Najděte nejmenší podtěleso tělesa R, které obsahuje $\sqrt2$ a zároveň $\sqrt3$ . Toto těleso značíme $Q(\sqrt2, \sqrt3)$ .
Takže řešením bude "předpis" $a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6$ a nemusím tam dávat $\sqrt4$ ani $\sqrt9$ , protože $\sqrt4=2$ a $\sqrt9=3$ a tyto čísla se uža dají zapsat pomocí zlomků... Chápu to správně?

Andrejka3 · 25. 03. 2013 19:05

↑ Marty88:
Ano.
Jen ten inverz (nasobeni) mi neprisel presvedcivy. ↑ Marty88:
$\frac{1}{a+b\sqrt{2}}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a-b\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{a+b\sqrt{2}}= \underbrace{\frac{a}{a^2-2b^2}}_{\in \mathbb{Q}}+\underbrace{\frac{-b}{a^2-2b^2}}_{\in \mathbb{Q}}\sqrt{2}$ .

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2013 14:14

Podtěleso tělesa

#2 25. 03. 2013 14:34

Re: Podtěleso tělesa

#3 25. 03. 2013 14:38

Re: Podtěleso tělesa

#4 25. 03. 2013 15:33

Re: Podtěleso tělesa

#5 25. 03. 2013 15:53

Re: Podtěleso tělesa

#6 25. 03. 2013 16:35 — Editoval Marty88 (25. 03. 2013 16:36)

Re: Podtěleso tělesa

#7 25. 03. 2013 16:43

Re: Podtěleso tělesa

#8 25. 03. 2013 16:55

Re: Podtěleso tělesa

#9 25. 03. 2013 17:47

Re: Podtěleso tělesa

#10 25. 03. 2013 19:05

Re: Podtěleso tělesa

Zápatí