Matematické Fórum

sk8er666.cz · 12. 02. 2013 14:53

Ahoj, mam problém s tímto příkladem: Předpokládejme, že vaše hmotnost je 100 kg. O kolik budete těžší, když si lehnete a o kolik budete lehčí, když spadnete do škarpy? Výsledky jsou +30 mg a -15 mg ale nevím, jak se k nim dobrat. Zřejmě je tam skrytý předpoklad, že je to vždy o jeden metr. Tedy zřejmě se vážím 1 m nad zemí a lehnu si níže o 1 metr a tím pádem jsem blíže Zemi. Dále jsem metr v hloubce, ale tam je potenciál a tedy i gravitační síla jiná dle pohybu pod Zemí (prostorový oscilátor). Opravdu nevím jak s tím naložit a díky za pomoc :)

Praha505 · 25. 03. 2013 17:39

ahoj, docela by mě to zajímalo tak bych byl rád, kdyby se to vyřešilo.

Pokusil jsem se o postup :

Fg1 = m1 x Mz x k( kapa) / r^2 sem dosadím poloměr Země

Fg2 = to samé, jen poloměr Země mínus jeden metr.

Dále podle vzorce F=mg vyjádřím hmotnost a porovnám oba výsledky.

Předpokládám, že to nebude dobře, tak mě prosím opravte. :))

zdenek1 · 25. 03. 2013 22:00

↑ Praha505:
Autor příkladu by zasloužil zastřelit před nastoupenou jednotkou. Výsledek uvádí v mg, takže se ptá na hmotnost, jenže hmotnost se samozřejmě nezmění. Změní se gravitační síla, ale pak by měly být jednotky mN.

Ale budiž.

Idea postupu pro první otázku je OK.
Konkrétně $F_0$ - síla ve stoje, $F_1$ - síla vleže, $F_2$ - síla ve škarpě.
$F_0=G\frac{Mm}{(R_z+1)^2}$
$F_1=G\frac{Mm}{R_z^2}$
$\frac{F_1}{F_0}=\frac{GMm}{R_z^2}\cdot \frac{(R_1+1)^2}{GMm}=\left(\frac{R_z+1}{R_z}\right)^2$
$F_1-F_0=\left[\left(\frac{R_1+1}{R_z}\right)^2-1\right]F_0=\left(\frac{R_z+1}{R_z}-1\right)\left(\frac{R_z+1}{R_z}+1\right)F_0=\frac{2R_z+1}{R_z^2}F_0$
Když nyní směle zanedbáme $1$ proti poloměru Země, dostaneme $F_1-F_0=\frac{2}{R_z}F_0=3,1\cdot10^{-7}F_0$ . Když dosadíme $F_0=981\ \text N$ , dostaneme uvedený výsledek.

Druhá otázka je trochu složitější. Na těleso uvnitř koule působí jen hmota v kouli "pod" tělesem.
Hustota Země je $\varrho =\frac{M_z}{\frac43\pi R_z^3}$ , hmotnost pak $M=\frac43 \pi R^3\varrho =\frac43 \pi R^3\frac{M_z}{\frac43\pi R_z^3}=\frac{M_zR^3}{R_z^3}$
Gravitační síla $F_2=G\frac{M_zmR^3}{R_z^3R^2}=G\frac{M_zm}{R_z^3}R$
$\frac{F_2}{F_0}=\frac{G\frac{M_zm}{R_z^3}(R_z-1)}{G\frac{Mm}{(R_z+1)^2}}=\frac{(R_z-1)(R_z+1)^2}{R_z^3}$
$F_0-F_2=\left(1-\frac{(R_z-1)(R_z+1)^2}{R_z^3}\right)F_0=\frac{-R_z^2+R_z+1}{R_z^3}F_0$
A po zanedbání $R_z+1$ proti $R_z^2$ je
$F_0-F_2=-\frac{1}{R_z}F_0$

LukasM · 26. 03. 2013 08:54

zdenek1 napsal(a):
Autor příkladu by zasloužil zastřelit před nastoupenou jednotkou. Výsledek uvádí v mg, takže se ptá na hmotnost, jenže hmotnost se samozřejmě nezmění. Změní se gravitační síla, ale pak by měly být jednotky mN.

Ono už podle dost nekonkrétního a divného zadání je zřejmé, že ta úloha má být spíš než co jiného vtipná, a jako takové by se jí myslím i ve výsledku dala ta nepřesnost odpustit - nakonec hmotnost je jednodušší si představit než sílu. Úlohu totiž znám, pochází ze skript Mechanika pro FJFI od Ivana Štolla, a skutečně těžko ho podezřívat že neví jaký je rozdíl mezi hmotností a silou. Student FJFI by měl být schopen se s tím poprat (nebo to tak zřejmě bylo v době, kdy skripta vyšla).

To jen tak mimo téma, doc. Štoll mně učil, a vidět ho zastřeleného by mi zkazilo celý den.

zdenek1 · 26. 03. 2013 09:37

↑ LukasM:
Děkuji za informaci, to jsem nevěděl. Pana Štolla osobně neznám, ale četl jsem od něj pár knih. Z neznalosti ho skutečně podezřívat nelze. :-)

sk8er666.cz · 09. 05. 2013 13:26

Díky za pomoc. :) Úloha je opravdu od Ivana Štolla a dokonce jsem ji po pátrání nalezl i v jeho sbírce Úvod do fyziky v řešených příkladech (příklad 43), kde uvádí stručné řešení.

Matematické Fórum

#1 12. 02. 2013 14:53

Gravitační síla

#2 25. 03. 2013 17:39

Re: Gravitační síla

#3 25. 03. 2013 22:00

Re: Gravitační síla

#4 26. 03. 2013 08:54

Re: Gravitační síla

zdenek1 napsal(a):

#5 26. 03. 2013 09:37

Re: Gravitační síla

#6 09. 05. 2013 13:26

Re: Gravitační síla

Zápatí