Matematické Fórum

badwolf · 25. 03. 2013 22:04

Věděli byste, jak řešit tento příklad?

Uspořádejte množinu přirozených čísel relaci r následovně: m r n právě tehdy, když m je sudé a n liché, nebo obě čísla m, n jsou stejné parity a m < n, nebo m = n. Je ordinální číslo této množiny s takto definovaným uspořádáním ω? (ω je ordinální číslo množiny všech přirozených čísel s přirozeným uspořádáním (podle "velikosti").

Předem děkuji za jakékoliv náměty.

martisek · 25. 03. 2013 22:11

↑ badwolf:

Myslím, že není. Relace r "vyrobí" ordinální číslo 2ω. Funguje totiž tak, že přirozeně uspořádá všechna sudá čísla (ordinální číslo této podmnožiny je ω) a až za ně přirozeně uspořádá všechna lichá čísla, což je další ω.

badwolf

↑ martisek:

Děkuji za odpověď. Dalo by se to ještě nějak stručně dokázat?

martisek

↑ badwolf:

Množina A má ordinální číslo ω právě tehdy, když existuje prosté zobrazení $\varphi : A \rightarrow \mathbb N$ , které zachovává uspořádání. Takže označíme-li $\mathbb N_s$ množinu všech sudých čísel, pak tímto prostým zobrazením je $\varphi _s (2n) = n$ , v případě množiny $\mathbb N_l$ všech lichých čísel pak $\varphi _l (2n-1) = n$ . Obě tato zobrazení zřejmě zachovávají uspořádání, protože pro každá dvě přirozená čísla m,n platí

$2m\le 2n \Rightarrow m \le n$ ; $2m-1 \le 2n-1 \Rightarrow m \le n$ .

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2013 22:04

Uspořádání omega

#2 25. 03. 2013 22:11

Re: Uspořádání omega

#3 25. 03. 2013 22:12 — Editoval badwolf (25. 03. 2013 22:12)

Re: Uspořádání omega

#4 25. 03. 2013 22:45 — Editoval martisek (25. 03. 2013 22:46)

Re: Uspořádání omega

Zápatí