Matematické Fórum

bejf · 25. 03. 2013 20:15

Ahoj, mám jeden příklad v učebnici označen hvězdičkou (autor uvádí, že by měl být obtížnější).
Určete velikosti vnitřních úhlů a poměr délek stran trojúhelníku, jestliže platí:
$a:b=2:3, \alpha : \beta=1:2$ .
Nic jiného zadáno není, ovšem nevím jak postupovat. Hned v dalším příkladu jsou poměry úhlů, ale všech tří, to jsem dohromady dal správně, ale tady celkem plavu. Děkuji za rady a zkusím zatím něco vymyslet.

Arabela · 25. 03. 2013 20:34

Ahoj ↑ bejf:,
podľa zadania $\beta =2\alpha$ . Ďalej stačí použiť sínusovú vetu
$a:b=\sin \alpha :\sin \beta$
$a:b=\sin \alpha :\sin 2\alpha$
$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{2\sin \alpha \cos \alpha }$
$\cos \alpha =\frac{3}{4}$
$\frac{2}{3}=\frac{1}{2\cos \alpha }$
........................

bejf · 25. 03. 2013 22:06 — Editoval bejf (25. 03. 2013 22:33)

↑ Arabela:↑ ((:-)):
Děkuji oběma. :-)

Arabela · 25. 03. 2013 22:38

↑ bejf:,
pomer strán môžeš získať zo sínusovej vety. S použitím vypočítaných hodnôt veľkostí vnútorných uhlov môžeš dostať približný výsledok.
$\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma }=\frac{a}{c}$
Keď a=2 (akési jednotky), vypočítaš c.
Ak použiješ presnejšie hodnoty veľkostí uhlov (napr. s presnosťou na stotiny), vyjde Ti to presnejšie.
Ja som sa s tým v snahe vypočítať pomer dĺžok strán čo najpresnejšie trochu pohrala.
V našom prípade platí $\gamma =180^\circ -3\alpha$ , takže
$\sin \gamma =\sin (180^\circ -3\alpha )=\sin 3\alpha$ .
Poznáme vzorec $\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha$
Podľa sínusovej vety
$\frac{a}{c}=\frac{\sin \alpha }{\sin 3\alpha }=...=\frac{1}{3-4\sin ^{2}\alpha }=\frac{2}{6-8\sin ^{2}\alpha }$
Ak a=2, potom $c=6-8.0,4375=2,5$
Takže
a:b:c=2:3:2,5=4:6:5