Matematické Fórum

Romans1 · 14. 03. 2013 15:39

Máme šesť priamok, z ktorých žiadne dve nie sú rovnobežné. Nájdite počet trojuholníkov,
ktoré tieto priamky utvorili, ak sa vždy najviac dve priamky pretínajú v jednom bode.
nuž ja som si to nakreslil a vyšlo mi
Priamky: počet 3uhlakov
3 = 1
4 = 2
5 = 3
6 = 4
je to spravne riešenie? Naozaj ich vznikne práve 4? A ak áno, je aj nejaký viac "matematický" sposob ako k tomu číslu prist, ako kreslením?
Dik

vanok · 14. 03. 2013 16:11

magicke slova: ahoj, dobry den,.... tiez prosim, dakujem,...

je jasne ze tri take priamky vytvoria 1 trojuholnik
4ta priamka prida 3*(3-1)/2= 3 trojuholniky, cize je ich 3+1=4
5ta prida 4*(4-1)/2=6, cize... atd

Staci si to nakreslit a uvedomit co prida kazda nasledujuca priamka...

Da sa dokonca eokazat, ze v pripade n+1 priamok mame n*(n+1)(n-1))/6 trojuholnikov.

Brano · 14. 03. 2013 16:17

↑ Romans1:
Tu nie je uplne jasne co myslis tym "tvoria trojuholnik"
kolko trojuholnikov vidis TU
ty tvrdis ze 2 a ↑ vanok: ze 4 - oba pristupy su zmysluplne, len ten tvoj ma o dost narocnejsi dokaz.

V pripade, ze by sme sa dohodli, ze su tam 4, tak pri $n$ priamkach mozes povedat, ze kazde tri urcia trojuholnik, cize vysledok bude
$\binom{n}{3}$

Romans1

Dik:)

Romans1 · 25. 03. 2013 23:55

↑ vanok:
Prepáč, že sa tak opozdene pýtam, ale ako si na to prišiel? mylsim clekovo na to, že hned
4ta priamka prida 3*(3-1)/2= 3 ako si a ten vzorec prišiel? :O Dik:)↑ Brano: no a ty taktiež to isté, tiež neviem ako si na to prišiel..
budem vám velmi zaviazaný, keby ste mi to napísali, lebo z vaších výsledkov nemám nič, ja si to želám vediet :/
Vďaka:)

martisek · 26. 03. 2013 09:15

↑ Romans1:

Já tedy tady

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl … 2By%3D1%7D

vidím zcela jasně čtyři trojúhelníky a myslím, že žádný jiný výklad není možný.

Romans1 · 26. 03. 2013 11:37

↑ martisek:
Ved aj ja ich vidím:) ale na prijímačkách nebudem mať wa l.dispozícii .a mna hlavné zaujíma ako prišiel↑ vanok: na ten vzorec...
AK niekto vie, Prosim, napíšte to tu..ďakujem veľmi pekne:)

Arabela · 26. 03. 2013 13:21

Ahoj ↑ Romans1:,
možno pomôže toto:
Majme tri priamky p1, p2, p3 tvoriace trojuholník ABC ,
$p_{1}\cap p_{2}=\{A\}, p_{2}\cap p_{3}=\{B\}, p_{1}\cap p_{3}=\{C\}$ .
Veďme štvrtú priamku p4 tak, aby neprechádzala žiadnym z už existujúcich priesečníkov a preťala každú z už nakreslených priamok; nech
$p_{1}\cap p_{4}=\{P_{1}\}, p_{2}\cap p_{4}=\{P_{2}\}, p_{3}\cap p_{4}=\{P_{3}\}$
NOVÉ trojuholníky (tie, ktoré pribudli), sú tvorené novými bodmi P1, P2 na priamkach p1, p2 a priesečníkom priamok p1, p2 (bodom A), ďalej bodmi P2, P3 na priamkach p2, p3 a priesečníkom priamok p2, p3 (bodom B) , a tiež bodmi P1, P3 a bodom C.
Nových trojuholníkov je toľko, koľkými spôsobmi môžeme vybrať dva body z troch nových bodov P1, P2, P3.
Pridaním ďalšej priamky predpísaným spôsobom pribudnú ďalšie štyri body a bude im odpovedať ${4\choose 2}=6$ nových trojuholníkov, atď.

Romans1 · 26. 03. 2013 15:17

↑ Arabela:
tým pádom ich bude
{4\choose 2}=6
${2\choose 2}+{3\choose 2}+{4\choose 2}+{5\choose 2}$
$1+3+6+10=20$
a už konečne chápem ${6\choose 3}=20$ ..vlastne vyberáme zo 6 primaok tri body..ach, dik:)..ale tak či onka, nie je to typický priklád, ktorý sa rieši v škole..
Ešte raz, vdaka:)

Arabela · 26. 03. 2013 15:26

↑ Romans1:
áno, súčet tých kombinačných čísel sa dá zapísať pomocou jediného kombinačného čísla... A určite máš pravdu, toto zďaleka nie je bežný stredoškolský príklad (niečo o tom viem...:))
Je to typický príklad "na uvažovnie"... Malé percento polulácie je schopné tieto súvislosti "vypozorovať" (odhadujem, že menej ako 5%), ďalších možno 20% je schopných sa s podobnou úlohou "popasovař", ak sa s niečím podobným už stretli, nuž a pre tých ostatných zostanú podobné úlohy záhadou možno navždy...:)

vanok · 26. 03. 2013 15:59 — Editoval vanok (26. 03. 2013 16:00)

Poznamka, trocha vseobecnejsia ako ta od ↑ Arabela:): Vdaka geometrickym vlastnostiam.( tak si to preto kresli pre nejake konkretne n)

Ak mame uz rozdelenu rovinu z n priamkamy,
pridanie novej priamky ( vdaka neroznobeznosti zo vsetkymy inymy ) vytvori n novych bodov
$P_1; P_2; ... P_n$
Bod $P_1$ vytvori $n-1$ novych trojuholnikov ktorych iny vrchol je jeden z bodov $P_2; ... P_n$
Teraz sa uz zaujimame len o trojuholniky co maju jeden vrchol $P_2$ , a ine z novych bodov az na $P_1$ ktory by dal duplicitny trojuholnik.

Atd, ca da (n-1) + (n-2) +... 2 + 1= n(n-1)/2 novych trojuholnikov vdaka tej (n+1)° priamke.

Romans1 · 26. 03. 2013 18:32

↑ Arabela:
Vdaka:) a ${6\choose 3}=20$ som napísal preto, lebo apson ja z toho vidím najzretelnejsie tú ulohu...zo 6 bodov vyber 3....
Bohužial patrím ku tým 20% (snáď :O) preto tie priklady riešim, lebo iba tato sa to dokažem naucit riesit:) Ina ako si to mylsela, že niečo o tom vieš? :O :D
↑ vanok:
Vdaka:)

Arabela · 26. 03. 2013 18:59

↑ Romans1:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2013 15:39

Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

#2 14. 03. 2013 16:11

Re: Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

#3 14. 03. 2013 16:17

Re: Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

#4 14. 03. 2013 16:54 — Editoval Romans1 (25. 03. 2013 23:53)

Re: Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

#5 25. 03. 2013 23:55

Re: Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

#6 26. 03. 2013 09:15

Re: Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

#7 26. 03. 2013 11:37

Re: Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

#8 26. 03. 2013 13:21

Re: Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

#9 26. 03. 2013 15:17

Re: Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

#10 26. 03. 2013 15:26

Re: Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

#11 26. 03. 2013 15:59 — Editoval vanok (26. 03. 2013 16:00)

Re: Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

#12 26. 03. 2013 18:32

Re: Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

#13 26. 03. 2013 18:59

Re: Z priamok kolko vznikne trojuholnikov

Zápatí