Matematické Fórum

Marian · 22. 12. 2008 19:48

Nechť $m\in\mathbb{N}$ , $n\in\mathbb{N}$ jsou taková čísla, že platí $\sqrt{23}>\frac{m}{n}.$ Dokažte, že pak platí $\sqrt{23}-\frac{m}{n}>\frac{2}{mn}.$

Marian · 31. 12. 2008 14:22

Že by tato úloha překročila práh končícího roku 2008 a nového roku 2009 bez jediného nápadu na řešení?

Přiznám se, že jsem tuto úlohu řešil dosti násilně, ale podařilo se. K dispozici hjsem měl i jiná řešení, ale ta se mě nelíbila. Možná napadne něco kloudného ostatní - tedy právě tebe, kdo čteš tyto řádky ...

lukaszh

↑ Marian:
Ahoj,
na úvod len toľko, že vôbec si nie som istý správnosťou ale tak toto ma napadlo:
Označím si $x_{j}$ postupnosť prirodzených čísel tak, že
$\{47;479;4795;\cdots\}$
Proste neviem to opísať, ide to k
$\lim_{n\to\infty}10^n\sqrt{23}$ .
Definujem si aj druhú postupnosť
$y_{j}=10^{j}$
Určite platí, že
$\forall j\in\mathbb{N}\,:\;\sqrt{23}\,>\,\frac{x_j}{y_j}$
Zvolím teda $m=x_j, n=y_j$ , keďže $\forall j\in\mathbb{N}\,:\; x_j\in\mathbb{N}\,\wedge\,y_j\in\mathbb{N}$ . Potom stačí dokázať:
$\sqrt{23}-\frac{x_j}{y_j}\,>\,\frac{2}{x_jy_j}$
Dôkaz priamo:

EDIT: Nasledujúce už neplatí :-) Tu ma zmrazil ↑ BrozekP:.
Určite platí nerovnosť $y_j\sqrt{23}\,>\,x_jy_j$ . Dokážem silnejšiu nerovnosť:

V dôkaze by som pokračoval matematickou indukciou, ale platí. Tak aspoň toto :-)

Pavel Brožek

↑ lukaszh:

Jestli jsem to dobře pochopil, tak je problém, že takhle by jsi to dokázal jen pro $m\in\{x_j\}_{j=1}^{\infty}$ a k němu příslušné $n=y_j$ , ne pro každé přirozené m, n.

lukaszh · 31. 12. 2008 17:38

↑ BrozekP:
No tak ja som to dokázal pre $m\in\{x_j\}_{j=1}^{\infty},n=y_j$ , čo je jedna z nekonečna možností, ty to dokonči pre ostatné $\infty-1$ možnosti :-))))) To bude fuška :-DD

Pavel Brožek · 31. 12. 2008 17:40

↑ lukaszh:

Nedokázal, $y_j\sqrt{23}\,>\,x_jy_j$ neplatí, platí $y_j\sqrt{23}\,>\,x_j$ . :-)

lukaszh · 31. 12. 2008 17:44

↑ BrozekP:
Ajajajaaaaj :-) Teraz si mi prekazil moje nádeje aspoň na tú jednu možnosť :-D. Už sa mi to nechce.

Marian · 05. 01. 2009 00:35 — Editoval Marian (05. 01. 2009 00:38)

Zkusil jsem ještě jeden přístup (hledal jsem elegantnější metodu, než hrubou sílu) a našel jsem toto - ovšem neřeší to v plné šíři původní nerovnost.

Minimální polynom $P_{\alpha}(x)$ algebraického čísla $\alpha :=\sqrt{23}$ je $P_{\alpha}(x)=x^2-23$ . Platí ovšem

Odtud tedy
$\left |\sqrt{23}-\frac{m}{n}\right |\ge\frac{1}{2\sqrt{23}}\cdot P_{\alpha}\left (\frac{m}{n}\right )=\frac{1}{\sqrt{23}}\cdot\left |n^2\cdot P_{\alpha}\left (\frac{m}{n}\right )\right |\cdot\frac{1}{n^2}>\frac{\frac{1}{2\sqrt{23}}}{n^2}.$

Jinými slovy, existuje konstanta c zavisející pouze na čísle $\sqrt{23}$ taková, že platí
$\left |\sqrt{23}-\frac{m}{n}\right |>\frac{c}{n^2}.$

Možná by se tato metoda dala vylepšit natolik, aby platila i nerovnost, kterou chceme dokázat.

Marian · 05. 01. 2009 12:35

Řešení jsem už našel a musím řící, že je velice jednoduché. Není potřeba integrál ani modulární aritmetiku. Vystačím s rozšiřujícím učivem deváté třídy klasické ZŠ - totiž potřebuju pouze řešit jistou kvadratickou rovnici.

Tak bádejte ...
:-)

Kondr · 05. 01. 2009 14:17

Bez integrálů se to dá zvládnout, bez modulární aritmetiky se mi to nepovedlo.

Řešení Zobrazit/skrýt!

Marian · 06. 01. 2009 19:48 — Editoval Marian (06. 01. 2009 23:03)

↑ Kondr:
Myslím, že tvé řešení je lepší ... vysvětluji a řeším dále. Postupoval jsem jinak. Našel jsem přímý důkaz nerovnosti výše, ale zapomněl jsem na jednu možnost. Tu jsem dneska rozebíral a dokazoval sporem. Došel jsem ke stejným identitám jako ty. Takže zde bych musel řešit třeba také pomocí kvadratických zbytků. Řešil jsem takto:

(1) Zobrazit/skrýt!

(2) Zobrazit/skrýt!

(3) Zobrazit/skrýt!

Edit.: Zajímavé na tom všem je, že Kondr řeší technikou kvadratických residuí celou záležitost (důkaz sporem), kdežto já dokazuji nerovnost z obrovské části (vlastně celou) přímo a pouze hypotetický případ (jak ukazuje důkaz Kondra - taková hodnota m_0 neexistuje) technikou kvadratických residuí.

Matematické Fórum

#1 22. 12. 2008 19:48

Aproximace odmocniny

#2 31. 12. 2008 14:22

Re: Aproximace odmocniny

#3 31. 12. 2008 17:25 — Editoval lukaszh (01. 01. 2009 11:20)

Re: Aproximace odmocniny

#4 31. 12. 2008 17:35 — Editoval BrozekP (31. 12. 2008 17:39)

Re: Aproximace odmocniny

#5 31. 12. 2008 17:38

Re: Aproximace odmocniny

#6 31. 12. 2008 17:40

Re: Aproximace odmocniny

#7 31. 12. 2008 17:44

Re: Aproximace odmocniny

#8 05. 01. 2009 00:35 — Editoval Marian (05. 01. 2009 00:38)

Re: Aproximace odmocniny

#9 05. 01. 2009 12:35

Re: Aproximace odmocniny

#10 05. 01. 2009 14:17

Re: Aproximace odmocniny

#11 06. 01. 2009 19:48 — Editoval Marian (06. 01. 2009 23:03)

Re: Aproximace odmocniny

Zápatí