Matematické Fórum

Optix · 24. 03. 2013 19:28

Ahoj, potreboval bych vedet co znamena ze funkce ma asymptotu v nekonecnu po pripade v minus nekonecnu, potrebuji to vedet predevsim kvuli tomu ze mam zjistit kde ma asymptoty $\mathrm{e}^{x}$

Predem dekuji za odpovedi!!! :)

jelena · 24. 03. 2013 21:02

Zdravím,

znamená to, že pro x v +nekonečnu (a/nebo v -nekonečnu) se graf funkce velmi přiblíží přímce, které řekneme "asymptota", skoro tu přímku "kopíruje". Stačí tak?

Jakou techniku můžeš použit pro zjištění asymptoty $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ ? Stačí jen ze znalosti chování exponenciální funkce se základem větším, než 1?

Děkuji.

martisek · 24. 03. 2013 22:12

↑ Optix:

Asymptota funkce "v nekonečnu" je dost zavádějící pojem. Zřejmě se tím myslí asymptoty pro $x\to \pm\infty$ . To je ale něco úplně jiného. Např. funkce $f(x) = x+\frac 1 x$ má asymptotu y=x, a to rozhodně není asymptota "v nekonečnu" - prochází totiž počátkem souřadnicové soustavy. Funkce $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ má asymptotu y = 0, a to rozhodně není asymptota "v nekonečnu" - je to totiž osa x...

Optix · 26. 03. 2013 17:49 — Editoval Optix (26. 03. 2013 17:50)

Musím říct, že z těchto komentů nejsem o moc moudřejší, no snažím se spočítat asypmtotu exponenciály pomocí limit pro x jdoucí k nekonečnu (jak + tak - nekonečno) ale moc nevím jak postupovat, když uvážím že asypmtota je přímka má tedy odpovídající rovnici y=ax+b a postupně se pokusím zjišťovat "a" a "b" pro a máme

$\lim_{x\to \pm \infty } \frac{f(x)}{x}\Rightarrow \lim_{x\to \pm \infty} \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}$

a dostavam $x\to \infty {vysledek}=\infty$ a pro $x\to -\infty {vysledek}=0$

Pokud je to doposud správné a já budu pokračovat v tomto duchu pak pro souřadnici "b" mám limitu

$\lim_{x\to -\infty } (\mathrm{e}^{x} -a*x)=\lim_{x\to -\infty } (\mathrm{e}^{x})=0$

vyšlo mi tedy že má asymptotu v mínus nekonečnu a to 0...nevím jestli je to normální natož správné.

Opět předem děkuji za vyjádření se k mému výpočtu :)

MirekH · 26. 03. 2013 17:56 — Editoval MirekH (26. 03. 2013 18:00)

Proč by to nebylo normální? Exponenciála je rostoucí a konvexní, takže v +nekonečnu zjevně limitu nemá. No a v záporném směru se její graf blíží ose x - to odpovídá tebou zjištěné limitě $y = 0 \cdot x + 0 = 0$ .

Edit: A jak píše martisek, odnauč se používat pojem "asymptota v nekonečnu".

martisek · 26. 03. 2013 19:26

↑ Optix:

Místo "asymptota v nekonečnu" bych říkal "asymptota pro x jdoucí k nekonečnu". Výsledky jsou dobře - asymptota pro x jdoucí k mínus nekonečnu je přímka y=0. To je v pořádku, protože když x jde k mínus nekonečnu, e^x se bllíží k nule. Asymptota pro x jdoucí k nekonečnu neexistuje, protože pro x jdoucí k nekonečnu se e^x k ničemu neblíží. (na rozdíl od příkladu, který jsem uváděl - $f(x) = x+\frac 1 x$ má asymptotu pro x jdoucí k plus i mínus nekonečnu - v obou případech se totiž blíží k přímkce y=x.)

Optix · 27. 03. 2013 19:12

To název který jsem uváděl, který je podle vás chybný mi byl tak předložen proto jsem ho sem tak i napsal a když se to potkalo s takovou kritikou tak radši budu říkat něco jiného, moc všem děkuji za pomoc!! :)

Matematické Fórum

#1 24. 03. 2013 19:28

asymptoty

#2 24. 03. 2013 21:02

Re: asymptoty

#3 24. 03. 2013 22:12

Re: asymptoty

#4 26. 03. 2013 17:49 — Editoval Optix (26. 03. 2013 17:50)

Re: asymptoty

#5 26. 03. 2013 17:56 — Editoval MirekH (26. 03. 2013 18:00)

Re: asymptoty

#6 26. 03. 2013 19:26

Re: asymptoty

#7 27. 03. 2013 19:12

Re: asymptoty

Zápatí