Matematické Fórum

Balalajka · 26. 03. 2013 20:08

Dobrý večer. Včera jsem díky Vaší pomoci vyřešil logaritmickou rovnici a hned bych potřeboval pomoc s další, ještě o něco těžší (řekl bych). Opět bych byl vděčný, kdybyste mě mohli nasměrovat, popřípadě někdo z Vás nastínil postup, první krok atd.

Zde je zápis rovnice:

$x^{logx}+10\cdot x^{-logx}=11$

BakyX · 26. 03. 2013 20:12 — Editoval BakyX (26. 03. 2013 20:14)

$x^{\log x}=a$

Potom $a+\frac{10}{a}=11$

Zjavne ak $a'$ je jej koreň, tak aj $\frac{10}{a'}$ jej koreň. Stačí uhádnuť jeden koreň, čo je zjavne $a'=1$ . Druhý koreň je preto 10...

Balalajka · 26. 03. 2013 20:26

Děkuji. Takže se dostanu na kvadratickou rovnici:

$a^{2}-11a+10$

Z toho pak zjistím, že diskriminant je roven 81, a tedy odmocnina z něj je 9. A1 a A2 tak vyjdou 10 a 1. No a protože jsem substitoval, musím vyřešit:

$x^{logx}=10$

$x^{logx}=1$

Teď nevím jak dál. Mohli byste ještě poradit?

Arabela · 26. 03. 2013 20:32

Ahoj ↑ Balalajka:,
skús tieto rovnice zlogaritmovať.

cryogenic · 26. 03. 2013 20:34

u druhé bych možná doporučil přepsat ;)

Balalajka · 26. 03. 2013 20:40

Takže když zlogaritmuji, vzniknou rovnice:

$\log_{}x\cdot \log_{}x=\log_{}10$

$\log_{}x\cdot \log_{}x=\log_{}1$

Bohužel, ani teď nevím jak dál :/. V tomhle skutečně nejsem dobrý. Mohl bych ještě někoho otravovat?

Arabela · 26. 03. 2013 20:54

↑ Balalajka:
log 10 =1, takže prvá rovnica prejde na tvar
$(\log_{}x)^{2}=1$
Teraz odmocníš
$|\log_{}x|=1$
čo znamená, že $\log_{}x=1$ alebo $\log_{}x=-1$ .
To už sú základné rovnice,
riešením prvej je $x=10$ a riešením druhej $x=10^{-1}=\frac{1}{10}$
Teraz ešte tú druhú (vieš, že log 1=0)...

Balalajka · 26. 03. 2013 21:18

Takže nakonec zjistím, že x může být buď 10, 1/10 nebo 1 (to vyjde z té druhé rovnice). Všechno sedí i ve zkouškách. Je to správně?

Pokud ano, mohli byste prosím říct, jaké jsou pro tuto rovnici podmínky (hádám, že asi jen x>0?) a že se to nachází v intervalu:
$(0,+\infty )$

Mohl by někdo zkontrolovat? Děkuji.

Arabela · 26. 03. 2013 21:36

↑ Balalajka:
máš to správne.

Matematické Fórum

#1 26. 03. 2013 20:08

Logaritmická rovnice II

#2 26. 03. 2013 20:12 — Editoval BakyX (26. 03. 2013 20:14)

Re: Logaritmická rovnice II

#3 26. 03. 2013 20:26

Re: Logaritmická rovnice II

#4 26. 03. 2013 20:32

Re: Logaritmická rovnice II

#5 26. 03. 2013 20:34

Re: Logaritmická rovnice II

#6 26. 03. 2013 20:40

Re: Logaritmická rovnice II

#7 26. 03. 2013 20:54

Re: Logaritmická rovnice II

#8 26. 03. 2013 21:18

Re: Logaritmická rovnice II

#9 26. 03. 2013 21:36

Re: Logaritmická rovnice II

Zápatí