Matematické Fórum

vanok · 12. 03. 2013 15:08

V tomto vlakne dam postupne, niekolko geometrickych uloh, ktore sa daju vyriesit vdaka vlasnostiam komplexnych cisiel.

ULOHA N°1
Dokazte, ze tri vysky trojuholnika sa pretinaju v jednom spolocnom spolocnom bode (volame ho ortocentrum )

vanok · 13. 03. 2013 16:51

Prvy navod:
Je vyhodne pouzit skalarny sucin:
Pre $z=x+iy, z'=x'+iy'$ , definujeme ich skalarny sucin ako $<z;z'>= xx'+yy'$
$z, z'$ su ortoganalne ( kolme) ak $<z;z'>=0$ .

A tiez, je dobre vediet, ze kazdy trojuholnik sa da umiestnit do komplexnej roviny tak aby dva jeho vrcholy boli na realnej osy a treti na imaginarnej osy.

vanok · 14. 03. 2013 10:34 — Editoval vanok (19. 03. 2013 12:58)

Podrobnejsi navod:
Da sa dostat do tejto situacie.
Trojuholnik ABC, je v komplexnej rovine A, B na realnej osi,
C na imaginarnej.
Potom A(a,0), B(b,0) a C(0,c) a, b, c nenulove.
Cize, mame vrcholy vyjadrene v $\mathbb{C}$ : a, b, ic
Ukazte, ze bod H(0,h) kde $h=-\frac{ ab} c$ je hladany spolocny bod vysiek.

vanok · 16. 03. 2013 12:31

Posledny navod:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 21. 03. 2013 11:05

Riesenie: po 3 navodoch ho iste kazdy nasiel.

Tak pridam dalsiu ulohu.

Andrejka3 · 21. 03. 2013 20:35

↑ vanok:
Hezké. Platí i pro a = 0 nebo b = 0.
Jsem zvědavá na další.

vanok · 21. 03. 2013 22:58 — Editoval vanok (22. 03. 2013 00:55)

↑ Andrejka3:,
Ano, ale tak ci tak kazdy ( skutocny) trojuholnik sa moze umiestnit v komplexnej rovine, tak, ze a aj b su nenulove.

vanok · 23. 03. 2013 17:22 — Editoval vanok (24. 03. 2013 19:17)

Tu najdete slubenu druhu uloha:
ULOHA N° 2 ( rovnostranny trojuholnik)
Nech $z_1; z_2; z_3$ su tri rozne komplexne cisla, take, ze $|z_1|=|z_2|=|z_3|$
3 najsledujece propozicie su ekvivalentne
a) $z_1; z_2; z_3$ su vrcholy rovnostranneho trojuholnika
b) $z_1+ z_2+ z_3=0$
c) $z_1; z_2; z_3$ , su korene nejakej rovnice typu $Z^3=k$ , kde $k \in \mathbb{C}$

check_drummer · 23. 03. 2013 22:18

↑ vanok:
Ahoj, nezdá se mi, že by a) a b) měla být ekvivalentní, resp. podle mého neplatí a)=>b). Co když se jedná o rovnostranný trojúhelník umístěný v komplexní rovině tak, že x-ové souřadnice všech jeho bodů budou velmi velká kladná čísla? Pak jistě nebude součet těchto čísel 0...
Podle mého bychom měli předpokládat, že těžiště trojúhelníka je v počátku.

vanok · 24. 03. 2013 19:21 — Editoval vanok (24. 03. 2013 19:24)

Prepacte, som to vyeditoval, lebo som zabudol napisat toto: $|z_1|=|z_2|=|z_3|$ !
Tak, dakujem za dynamicke reakcie ... viem, ze teraz, vas tato uloha ozaj zabavi.