Matematické Fórum

vanok · 25. 03. 2013 22:51 — Editoval vanok (25. 03. 2013 23:14)

V tomto vlakne zacala zaujimava diskuzia o cislach v matematike.
Aby bola lepsie viditelne, navrhujem ju rozvinut v tomto novom vlakne.
Zda sa mi , tu by sme mohli hovorit postupne o $N, Z, Q, R, C ...).

vanok · 25. 03. 2013 23:02 — Editoval vanok (25. 03. 2013 23:19)

Tu davam informacie, co su lahko pristupne na WEBE tykajuce sa prirodzenych cisiel : $\mathbb{N}$

Prvy moderny pristup pojmu prirodzeneho cisla, v modernom zmysle bol urobeny matematikom Dedekind, a tu je na tu temu celkom zaujimave citanie
http://plato.stanford.edu/entries/dedekind-foundations/
Trochu neskor Cantor a Frege uviedli tento pojem vdaka teorii mnozin
a v tejto knihe najdeme porovnacuje studium ich prac:
CONCEPTIONS OF NUMBER IN NINETEENTH CENTURY : DEDEKIND, CANTOR, FREGE ( autor:Jean-Pierre Belna)
Peano, uviedol prirodzene cislo vdaka jeho axiomatike.
http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms .

vanok · 26. 03. 2013 14:55 — Editoval vanok (28. 03. 2013 16:53)

Definovat cele cisla, ktore definuju mnozinu $\mathbb{Z}$ je algebricka zalezitost.

Ako prve definujme na $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ binarnu relaciu vdaka:
$(a,b) \sim (c,d)$ len a len ak $a+d=b+c$

Da sa jednoducho dokazat ze tato relacia je ekvivalencia.

Cele cisla mozu byt definovane ako klasy ekvivalencie relacii $\sim$ .
Oznacme $[a,b]$ klasu ktora representuje $(a,b)$
Mnozinu vsetkych celych cisiel oznacme $\mathbb{Z}$ ( to je mnozina tried ekvivalencie).

OPERACIE + a . NA $\mathbb{Z}$

Sucet sa definuje pre, $(a,b); (c,d)$ takto $(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)$ a potom sa ukaze ze tato definicia je kompatibilna z $\sim$ , a sa tiez dokaze, ze $\mathbb{Z},+$ je aditivna komutativna grupa.
poznamka: prvok $(a,b)$ sa znaci $a-b$

Tiez mozeme ukazat, ze aplikacia $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Z}:a\mapsto [a,0]$ je injektivna a kompatibilna zo suctom.

Sucin

na pokracovanie