Matematické Fórum

Anonymystik

Zdravím
--
Rozhodl jsem se s vámi podělit o jednu zajímavost v geometrii, na kterou jsem narazil. Nebude to však zadarmo :-) . Nejdřív bude potřeba vyřešit jednu úlohu. Řešení této úlohy je nezbytným klíčem, aby šla pochopit jedna skrytá souvislost - tato souvislost lze docela překvapivým způsobem použít k důkazu jedné zajímavé věty z geometrie trojúheníku. Nebudu vám říkat, o kterou větu se jedná a považujte to za překvapení a za případnou odměnu, pokud se vám podaří úlohu vyřešit.
--
Nechť je dána délka $d$ a kružnice $k$ se středem $S$ . Zvolme její libovolnou tětivu $AB$ . Označme $P$ patu výšky v trojúhelníku $ABS$ na stranu $AS$ . Na polopřímce opačné k polopřímce $PA$ zvolme bod $D$ takový, že $|PD|=d$ . Buď $m$ kružnice se středem v bodě $A$ taková, že na ní leží bod $B$ . Zvolme rovnoběžku k úsečce $PB$ vedenou bodem $D$ a označme ji $p$ . A konečně předpokládejme, že přímka $p$ a kružnice $m$ se protnou a označme jejich průsečík jako bod $E$ . Dokažte, že $|SE|$ je nezávislá na volbě tětivy $AB$ .

Brano · 29. 03. 2013 01:02 — Editoval Brano (29. 03. 2013 09:46)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

edit: opravene

Anonymystik

↑ Brano:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

BakyX · 29. 03. 2013 04:47

↑ Brano:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Brano · 29. 03. 2013 09:32 — Editoval Brano (29. 03. 2013 09:53)

↑ Anonymystik:
vdaka za upozornenie, prepisane

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Anonymystik

↑ Brano: Výborně, řešení je zcela správně.
Nyní překvapení: možná znáš tzv. Eulerovu větu pro trojúhelník: je-li $r$ poloměr kružnice opsané a $\varrho$ poloměr kružnice vepsané trojúhelníku, pak pro vzdálenost středů zmíněných dvou kružnic $l$ platí vztah $l^{2} = r^{2} - 2r \varrho$ . Pravá strana by ti měla být svým tvarem povědomá. Zkusme si tuto nápadnou podobnost zapamatovat a na chvíli odběhněme od této myšlenkové linie.
--
--
--
--
Zaměřmě se na jinou úlohu. Máme sestrojit trojúhelník WXC na základě jeho poloměru kružnice opsané $r$ , poloměru jeho kružnice vepsané $\varrho$ a délky jeho strany $w=|XB|$ . Jak na to půjdeme (aniž bychom znali Eulerovu větu)?
--
No, jedno z velmi elegantních řešení, které se nabízí, je toto:
1) známe-li poloměr kružnice opsané a jednu stranu trojúhelníku (která na dané kružnici vlastně tvoří tětivu), můžeme si klidně tuto kružnici i s příslušnou tětivou nakreslit. Kružnici označme $k$ a její střed označme $S$ . Krajní body tětivy budou vrcholy $X, B$ . Střed strany $XB$ označme $P$ . Pokud máme tětivu nakreslenou, tak její krajní body rozdělují celou kružnici $k$ na dva oblouky.
--
2) Vyberme si ten menší z nich a sestrojme si jeho střed $A$ . To zcela jistě bude Švrčkův bod v trojúhelníku $WXC$ . Švrčkův bod má navíc jednu velmi pěknou vlastnost vzhledem ke středu kružnice vepsané $E$ . Platí: $|AX| = |AB| = |AE|$ . Zapíchneme-li tedy kružítko do bodu $A$ a uděláme kružnici o poloměru $|AE|$ , bod $E$ bude zcela jistě ležet někde na ní. Označme tuto kružnici $m$ .
--
3) Dále známe-li poloměr kružnice vepsané $\varrho$ , tak protože $XB$ musí být tečnou této kružnice, tak střed této kružnice zcela jistě leží někde na rovnoběžce k přímce $XB$ ve vzdálenosti $\varrho$ . Označme tuto rovnoběžku jako $p$ . Průsečík této rovnoběžky s poloměrem $SA$ označme jako $D$ .
--
4) Bod $E$ je průsečíkem kružnice $m$ a přímky $p$ .
--
5) Nyní už snadno sestrojíme kružnici vepsanou, k ní tečny skrz body $X, B$ a tyto tečny se protnou v bodě $W$ , máme tedy trojúhelník $WXB$ sestrojen.
--
--
--
--
Nabízí se však i jiný způsob. Namísto bodu 2) nebo bodu 3) lze použít Eulerovu větu. Máme-li totiž kružnici opsanou, máme i její střed $S$ . Navíc víme, že $|SE|^{2} = r^{2} - 2r \varrho$ , tj. zapíchneme-li kružítko do bodu $S$ a nastavíme poloměr $\sqrt{r^{2} - 2r \varrho}$ a sestrojíme příslušnou kružnici, tak potom bod $E$ leží zcela jistě někde na ní.
--
No a kdykoliv se stane, že umíme úlohu vyřešit více různými způsoby, je výhodné srovnat tyto dva způsoby, neb často přijdeme na další zajímavou věc.
--
--
--
--
Teď zpátky k původní úloze. Značení bylo zvoleno tak, aby byla vidět nápadná podobnost těch dvou úloh. V původní úloze má vlastně vzdálenost $d$ roli poloměru kružnice opsané $\varrho$ . Nezávislost úsečky $SE$ je vlastně nezávislost vzdáleností středů kružnic opsané a vepsané na úsečce $AB$ . No známe-li $r$ , tak existuje bijekce mezi informacemi o délce úseček $AB$ a $XB$ . Tj. pokud $SE$ nezávisí na $AB$ , pak evidentně nezávisí ani na $XB$ . V trojúhelníku $WXB$ tedy vzdálenost středu kružnice opsané $S$ a středu kružnice vepsané $E$ nijak nezávisí na délce strany $XB$ . Tato vzdálenost $SE$ závisí pouze na dvou věcech: poloměru $r$ a vzdálenosti $d$ rovnoběžek $XB$ a $DE$ , což je ovšem (jak jsme ukázali předchozí úvahou) poloměr kružnice vepsané. Platí tedy $|SE| = f(r, \varrho)$ , a to konkrétně (jak jsme dokázali předtím), $|SE| = \sqrt{r^{2} - 2 r \varrho}$ . Jedná se tedy vlastně o důkaz samotné Eulerovy věty! A já osobně jsem nikde na internetu podobný neviděl.
--
Tak doufám, že je to zajímavý náhled na celý problém.