Matematické Fórum

Jerry33 · 29. 03. 2013 14:39

Zdravím,
mám tento integrál
$\int_{0}^{1}\frac{x+3}{x^{2}+9}dx = \int_{0}^{1}\frac{x}{{x^{2}+9}}dx + \int_{0}^{1}\frac{3}{{x^{2}+9}}dx$

u toho prvního integrálu dám substituci a vše se zdá v pohodě, ale v tom druhém je to $x^{2}+9$ a já mám takové tušení, že tam bude něco s arctan apod. což neumím. Nevíte někdo jak na to?

Arabela · 29. 03. 2013 14:53

Ahoj ↑ Jerry33:,
bez toho arctan to proste nepôjde... nauč sa ten vzorec, a jeho používanie, bude Ti ešte veľakrát užitočný...

Jerry33 · 29. 03. 2013 14:55

↑ Arabela:
OK. Ten vzorec jsem našel ve dvou verzích. Bud $\frac{1}{1+x^{2}}$ a nebo (pro tento příklad vhodnější) $\frac{1}{a^{2}+x^{2}}$ Dá se použít obecně ten druhý?

Arabela · 29. 03. 2013 15:40

↑ Jerry33:
áno, ten druhý je vhodnejší. S čitateľom si problém netreba robiť, ten sa dá "vyňať" pred integrál...

LukasM · 29. 03. 2013 15:56 — Editoval LukasM (29. 03. 2013 15:57)

↑ Jerry33:
Ono je to jedno, integrál ve tvaru 2 vždy převedeš na tu jedničku, protože "vyňat" před integrál jde i ze jmenovatele:
$\int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a^2}\int{\frac{1}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}dx}=\frac{1}{a}\int{\frac{1}{1+t^2}dt}=\frac{1}{a}atan\left(\frac{x}{a}\right)+C$

Substituce byla $t=\frac{x}{a},dt=\frac{1}{a}dx$ . Totéž platí pro integrály vedoucí na asin nebo acos.

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2013 14:39

Integrál zlomku

#2 29. 03. 2013 14:53

Re: Integrál zlomku

#3 29. 03. 2013 14:55

Re: Integrál zlomku

#4 29. 03. 2013 15:40

Re: Integrál zlomku

#5 29. 03. 2013 15:56 — Editoval LukasM (29. 03. 2013 15:57)

Re: Integrál zlomku

Zápatí