Matematické Fórum

petra666 · 29. 03. 2013 11:30

Dobrý den, mohli byste mi prosím napsat řešení k tomuto příkladu? Nevím si s ním rady.
Napište rovnici kružnice, která prochází bodem $M[2;1]$ a dotýká se daných přímek $p_{1}:x-y-3=0, p_{2}:7x+y+3=0$

Vím že bych měla využít toho, že střed kružnice leží na ose úhlu různoběžek, ale nevím jak.

Arabela · 29. 03. 2013 12:04

Ahoj ↑ petra666:,
to, že stred S hľadanej kružnice leží na osi daných dvoch priamok, znamená, že vzdialenosť bodu S od jednej priamky je rovnaká ako vzdialenosť od druhej priamky. Môžeš vaužiť vzorec pre vzdialenosť bodu od priamky v rovine.

petra666 · 29. 03. 2013 14:47

↑ Arabela:
Můžete být prosím trochu konkrétnější?

zdenek1 · 29. 03. 2013 15:11

↑ petra666:
Budeme předpokládat, že střed kružnice má souřadnice $S[m,n]$
Pak vzdálenost středu od obou přímek bude stejná, a to rovna poloměru.
$d(S,p_1)=\frac{|m-n-3|}{\sqrt2}=r$ (1)
$d(S,p_2)=\frac{|7m+n+3|}{\sqrt{50}}=r$
$\frac{|m-n-3|}{\sqrt2}=\frac{|7m+n+3|}{\sqrt{50}}$ obě strany rovnice umocníš a upravíš na
$25(m-n-3)^2-(7m+n+3)^2=0$ a podle $a^2-b^2=\dots$
$(5m-5n-15+7m+n+3)(5m-5n-15-7m-n-3)=0$
$(3m-n-3)(m+3n+9)=0$
$n=3m-3$ (2) nebo $m=-3n-9$
výrazy určují množiny bodů, které mají od obou přímek stejné vzdálenosti, tj. vlastně osy úhlů různoběžek
$o_1:y=3x-3$ a $o_2:y=\frac{-x-9}3$

Střed ale nemůže ležet na $o_2$ , protože bod $M$ je v prvním kvadrantu a $o_2$ prvním kvadrantem neprochází (pokut to není jasné, situaci si načrtni)

Takže střed leží na $o_1$
z (2) dosadíme do (1)
$|m-3m+3-3|=\sqrt2r$
$2|m|=\sqrt2r$
$r^2=2m^2$ (3)
dále máme podmínku, že $|SM|=r$
$\sqrt{(m-2)^2+(n-1)^2}=r$
$(m-2)^2+(3m-3-1)^2=2m^2$
Vyřešíš kvadratickou rovnici a z (2) a (3) určíš zbylé dva parametry

Arabela · 29. 03. 2013 15:20

↑ petra666:
Nech $S[m,n]$ .
$v(S,p_{1})=v(S,p_{2})$
$\frac{|m-n-3|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{7m+n+3}{\sqrt{7^{2}+1^{2}}}$
$\sqrt{50}(m-n-3)=\sqrt{2}(7m+n+3)$
$|5(m-n-3)|=|7m+n+3|$

Arabela

Pozerám, že kolega Zdenek ma už predbehol. Riešila som to podobne,
len rovnosť, ktorou som končila v predošlom príspevku, som neumocňovala, ale použila som vlastnosť absolútnej hodnoty
$\forall a,b \in R: |a|=|b|\Leftrightarrow (a=b \vee a=-b)$
Odtiaľ po úpravách dostaneme
dva možné vzťahy medzi m,n:
3m-n-3=0, resp. m+3n+9=0.
Jeden z týchto vzťahov sa na základe polohy bodu M vylúči (pozri riešenie kolegu Zdenka - úvaha o osiach).

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2013 11:30

Kružnice- analytika

#2 29. 03. 2013 12:04

Re: Kružnice- analytika

#3 29. 03. 2013 14:47

Re: Kružnice- analytika

#4 29. 03. 2013 15:11

Re: Kružnice- analytika

#5 29. 03. 2013 15:20

Re: Kružnice- analytika

#6 29. 03. 2013 15:26 — Editoval Arabela (29. 03. 2013 15:38)

Re: Kružnice- analytika

Zápatí