Matematické Fórum

Skrytý text:
který se dá použít i u Marianovy Vánoční limity, ale ten zatím nebudu prozrazovat ani ve skryté části :-)

Skrytý text:

Nech . Takéto k môžem zvoliť, pretože platí . Potom podľa nerovností platí:

Teraz zvolím postupne za k ďalšie sčítance radu:

Nerovnosti môžem sčítať a dostanem:

Odtiaľ vyplýva:

Limitne pre n do nekonečna:


Poznámky:
Predpokladám, že , existuje. Dôkaz: Dokážem, že postupnosť je klesajúca a ohraničená. Odtiaľ už bude vyplývať, že je konvergentná a má limitu. Ak je klesajúca tak platí:

čo je zrejme pravda. Dôkaz je obrátením postupu :-) Ohraničenosť dokážem matematickou indukciou a odhadnem súčet < 2:

V prvom kroku nech n = 1. Potom dostanem 1,5<2. V druhom kroku predpokladám platnosť pre n = k, a dokazujem pre k+1:

Využijem predpoklad a dokazujem silnejšiu nerovnosť:

Teda existuje konečná limita a platí .

Skrytý text:

To, že je posloupnost S(n) omezená shora jsi dokázal dobře (až na to, že v prvním kroku pro n=1 je to 1,5<2, ale to je opravdu drobnost).

Máš tam ale chybu při dokazování toho, že je posloupnost rostoucí, a to takovou, že ti to zkazí. Podívej se, jak vypadá S(n+1):

Skrytý text:
Stačí, dokonce není nutné ukazovat, že je shora ohraničená, to plyne z toho, že je klesající.