Matematické Fórum

boruuf · 29. 03. 2013 16:45

Ahoj, řeším úlohy k rotačním tělesům a u některých asi vyloženě potřebuju nakopnout. Mohli byste prosím pomoct? Jde o 2 úlohy.

1.) Koule o poloměru $r$ je osvětlena z bodu ležícího ve vzdálenosti $a > r$ od jejího středu. Určete velikost osvětlené plochy a její poměr k ploše neosvětlené.
Zde pouze nevím jak přijít na to, jakou část ten kulový vrchlík z koule zaujímá. Pak už dále vím jak pokračovat.

2.) Dva rotační kužely $K_{1}$ , $K_{2}$ , které mají poloměry podstav $r_{1}$ , $r_{2}$ , a stejnou tělesovou výšku $v$ jsou do sebe vraženy tak, že vrchol jednoho leží ve středu podstavy druhého. Určete objem společné části obou kuželů.

Předem děkuji za radu!

LukasM · 29. 03. 2013 17:10

↑ boruuf:
1. Podívej se na obrázek.

Nějak si označ jednotlivé strany a počítej. Trojúhelníky ABC a BCD jsou pravoúhlé, takže pro ně oba platí Pyth. věta. Tak se můžeš zbavit vzdálenosti BC (ta vystupuje v obou rovnicích, takže se z jedné dá vyjádřit a dosadit do druhé). Za CD můžeš dosadit když si ji vyjádříš z Pyth. věty pro t. ACD - ten je taky pravoúhlý. A protože AB+BD=AD, můžeš se zbavit všech neznámých a vyjádřit si stranu AB jako nějakou funkci AC a AD.

2. To jsem nepočítal, ale asi bude potřeba si uvědomit, že společná část kuželů jsou dva menší kužely připlácnuté k sobě podstavami. Z toho se dá vykoukat které strany potřebujeme znát. Namaluj si jenom řez (dva trojúhelníky), stejně je to rotačně symetrické.

boruuf · 29. 03. 2013 21:00

↑ LukasM:

1.)Ten obrázek je supr... Akorát jsem asi pořád nějak mimo. To se skrz všechny ty neznámé k něčemu dopočítám? být tam jedno jedinné číslo tak vím co s tím, ale takhle pořád tápu..

2.)Ten řez mě napadl už předtím, ale ať hledám, jak hledám, žádný způsob, jak přijít na poměr délek výšek těch výsledných trojúhelníku nebo délku té společné strany, nemůžu najít..

Jdu nad to ještě sednout.. I tak moc děkuju!

LukasM · 29. 03. 2013 21:44 — Editoval LukasM (31. 03. 2013 09:21)

↑ boruuf:
Číslo nepotřebuješ. Ve výsledku prostě zůstanou písmenka a a r. Ty tam zůstat můžou, protože podle zadání máš předpokládat, že je znáš (že ti nedali konkrétní čísla, to je jedno) - vše ostatní ale musíš vyštípat.

Kužel mi vyšel $\frac{1}{3}\pi \frac{r_1^2r_2^2v}{(r_1+r_2)^2}$ . A není to až tak těžké. Zase to asi stojí a padá na obrázku.

K trojúhelníkům ABC a BAD existují podobné trojúhelníky. Když se na ně zaměříš, dostaneš dvě rovnice pro dvě neznámé x a y - tuto soustavu vyřešíš a jsi hotov. Je to velmi podobné úloze kterou řešil lektor matematiky a fyziky v tomto vlákně.

boruuf · 30. 03. 2013 23:22

↑ LukasM:

Tak první příklad mám snad konečně za sebou. Poprosím o kontrolu výsledků, pokud je někde máš.

Povrch osvětlené části (kulový vrchlík): $S = 2\pi r^2 . ( 1 - \frac{r}{a})$

Povrch neosvětlené části se tím pádem vypočítá jako rozdíl Povrch celé koule odečteno povrchem kulového vrchlíku: $S = 2\pi r^2 . ( 1 + \frac{r}{a})$

Výsledný poměr mi tedy vyšel: $\textbf{a - r : a +r}$

Na druhý příklad teprve přijde čas.
Zatím děkuji.

LukasM · 31. 03. 2013 09:21

↑ boruuf:
Ano, vyšlo mi to stejně.

boruuf · 31. 03. 2013 13:52

Jupíí, vyšel mi i ten druhý stejně, děkuji mockrát :))

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2013 16:45

Rotační tělesa, Kulový vrchlík, Kužely

#2 29. 03. 2013 17:10

Re: Rotační tělesa, Kulový vrchlík, Kužely

#3 29. 03. 2013 21:00

Re: Rotační tělesa, Kulový vrchlík, Kužely

#4 29. 03. 2013 21:44 — Editoval LukasM (31. 03. 2013 09:21)

Re: Rotační tělesa, Kulový vrchlík, Kužely

#5 30. 03. 2013 23:22

Re: Rotační tělesa, Kulový vrchlík, Kužely

#6 31. 03. 2013 09:21

Re: Rotační tělesa, Kulový vrchlík, Kužely

#7 31. 03. 2013 13:52

Re: Rotační tělesa, Kulový vrchlík, Kužely

Zápatí