Matematické Fórum

Diamanticek1 · 28. 03. 2013 15:22

Prosím naposledy o pomoc, zkoušela jsem vypočítat tento příklad:

Síť pravidelného čtyřstěnu je rovnostranný trojúhelník s výškou h. Jaký bude objem a povrch tohoto čtyřstěnu?

Zkoušela jsem si dosadit za "h" např. číslo 3. Na výpočet povrchu mnohostěnu jsem použila Pythagorovu větu $a^{2}=9+\frac{1}{4}a^{2}$ , která je z trojúhelníku ABC. Zjistila jsem, že $a=2\sqrt{3}$ . Znám tedy stranu sítě a můžu dopočítat obsah trojúhelníku ADC => celý povrch čtyřstěnu je $S=3\sqrt{3}cm^{2}$ ,jestli to mám správně.. To by bylo, jenže jak mám spočítat objem i povrch čtyřstěnu obecně? Moc prosím o radu.

Diamanticek1 · 28. 03. 2013 16:02

↑ byk7: Děkuju za vaší snahu a pomoc. Už tomu rozumím víc, nakreslila jsem si to. Ale jen jsem to porovnala s výsledky, co jsou v učebnici. Pro objem čtyřstěnu mají napsáno $V=\frac{h^{3}}{36}\sqrt{\frac{2}{3}}$ a pro povrch $S=h^{2}\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Diamanticek1 · 28. 03. 2013 20:17

↑ ((:-)): Můžu tedy použít pro výpočet tento vzorec? $S=\frac{a\cdot v}{2} = \frac{a^{2}\cdot \sqrt{3}}{4}$ Mohla bych vás ale poprosit ještě o něco, nevím, jak na tu výšku..
Lze napsat pomocí Pythagorovy věty toto? $v_{i}^{2}=(\frac{1}{3}^{}h)^{2}-a^{2}$
Moc si s tím výpočtem výšky a pak i objemu nevím rady..

byk7 · 29. 03. 2013 17:20

K povrchu, trojúhelník $V_1V_2V_3$ je síť jehlanu, trojúhelník $ABC$ je jeho podstavou a body $V_1$ , $V_2$ a $V_3$ jsou v podstatě jeden a ten samý (mám na mysli v trojrozměrném prostoru.)
http://forum.matweb.cz/upload3/img/2013-03/70883_S.png

K objemu
http://forum.matweb.cz/upload3/img/2013 … on_vol.gif
Na z obrázku jde vidět, že jestliže je $s$ délka hrany čtyřstěnu, potom tělesová výška má délku $s\sqrt6/3$ .
Napasujme to na naši situaci ( $S_\mathsf P$ značí obsah podstavy a $v$ značí délku tělesové výšky):
$V&=\frac13\,v\,S_\mathsf P=\frac13\cdot\frac{a\sqrt6}{3}\cdot\frac{S}{4}=\frac{\sqrt6}{36}\,a\,S= \\ &=\frac{\sqrt6}{36}\cdot\frac{h\sqrt3}{3}\cdot\frac{h^2\sqrt3}{3}=\frac{\sqrt6}{108}\,h^3$

To už je ve shodě s tvými výsledky.

Diamanticek1 · 29. 03. 2013 18:08

↑ byk7: Páni, děkuju za postup a přiložené obrázky. Moc jste mi pomohl, už tomu rozumím. Nevím, proč mi dělá problém obecné počítání, zatímco s čísly to chápu víc.

byk7 · 29. 03. 2013 19:52

V pořádku, na obecné počítání si chce jenom zvyknout

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2013 15:22

Z učebnice pro stereometrii-objemy a povrchy těles

#2 28. 03. 2013 15:41 Příspěvek uživatele byk7 byl skryt uživatelem byk7. Důvod: neumím číst zadání

#3 28. 03. 2013 16:02

Re: Z učebnice pro stereometrii-objemy a povrchy těles

#4 28. 03. 2013 16:40 Příspěvek uživatele byk7 byl skryt uživatelem byk7. Důvod: neumím číst zadání

#5 28. 03. 2013 20:17

Re: Z učebnice pro stereometrii-objemy a povrchy těles

#6 29. 03. 2013 17:20

Re: Z učebnice pro stereometrii-objemy a povrchy těles

#7 29. 03. 2013 18:08

Re: Z učebnice pro stereometrii-objemy a povrchy těles

#8 29. 03. 2013 19:52

Re: Z učebnice pro stereometrii-objemy a povrchy těles

Zápatí