Matematické Fórum

Meglun · 29. 03. 2013 18:59

Ahoj, prosím Vás můj učitel nám při probírání komplexních čísel říkal, že si $\textit{i}$ nemůžeme v realném životě nijak představit, ale jen s ním počítat. Proč tedy existují čísla, které řeší rovnice s kterými v reálném životě nic nevyřešíme ?

LukasM · 29. 03. 2013 19:16

↑ Meglun:
To není pravda. Nemusíš si to umět představit k tomu, aby to bylo užitečné. Komplexní čísla mnohé výpočty dost zjednodušší. Bohužel ilustrovat to na SŠ úrovni je dost obtížné. Nicméně v kvantové fyzice a chemii je důležitá Schrodinderova rovnice (která i obsahuje), komplexní čísla se běžně používají v elektrotechnice, kde mimo jiné např. umožní díky komplexní impedanci elegantně popsat současně odpor a fázový posuv (což se na SŠ dělá, ovšem bez komplexních čísel), a třeba bez Fourierovy transformace by svět celkově vypadal o dost jinak. K zahození nejsou aplikace v matematické analýze, např. výpočet integrálů. Aplikací bude mnohem víc, já je ovšem neznám.

Samozřejmě pokud komplexní čísla použijeme k nějakému výpočtu ve fyzice, tak veličiny které mají mít něco konkrétního společného s reálným světem (třeba se dají měřit) musí vycházet reálné. Nemůže mi vyjít komplexní rychlost, komplexní úhel, nebo komplexní počet jablek. Pokud se to nestane, tak je všechno v pořádku.

martisek

↑ Meglun:

Ono záleží na představivosti. Dovedeš si představit dvě koruny? Asi ano. Nula korun? Jistě - mám prázdnou peněženku. Mínus dvě koruny? Někdo si je představit nedovede. Já ano - prostě někomu dlužím. Až teprve někde dvě koruny získám, pak teprve budu mít "stejně prázdnou peněženku" jako před chvílí. Nebo si je představím na teploměru - každý ví, co to znamená, když je venku mínus dva.

S imaginárními čísly je to dost podobné. Představit si je dovedu, a to dokonce na číselné ose:

Ta osa, která je na teploměru, je tady vodorovná. A osa, na které jsou ta "nepředstavitelná" čísla, je svislá.

A naprosto není pravda, že v "reálném" životě s nimi nic nevyřešíme. Imaginární čísla objevil Geronimo Cardano v 16. století, když se pokoušel vyřešit rovnici x^3 -6x-4 =0. Každý pokus o řešení končil na druhých odmocninách ze záporných čísel, jako kdyby rovnice neměla kořeny. Přitom číslo x=-2 zcela evidentně kořenem je. Pak se zjistilo, že pokud se s odmocninami ze záporných čísel zachází jen jako se symboly (třeba s písmenky), po několika dalších krocích z výpočtů vypadnout a řešení vyjde. Je to reálné řešení reálné rovnice.

Od té doby se hodně změnilo. Komplexní čísla mají v matematice pevné místo a mají uplatnění prakticky ve všech technických oblastech. Řešení řady zcela reálných problémů je dnes bez komplexních čísel už prakticky nemyslitelné.

Bati · 29. 03. 2013 19:21

Ahoj,
jde o to, že komplexní čísla spoustu matematických problémů velmi zjednodušují a tím pádem poskytují lepší náhled na situaci. V nějakém smyslu totiž reprezentují rovinu.

Celá matematika je vlastně založená na vytváření nějakých abstraktních struktur s nějakými hezkými vlastnostmi, ať už jsou to komplexní čísla, matice, permutace, funkce... Pokud potom někdo těmto strukturám porozumí stejně tak dobře, jako běžný člověk chápe počítání s běžnými čísly, tak se pro něj často spousta složitých problémů změní v jednoduché. A to je to důležité - umět vyřešit reálný problém - je přece jedno, že jsme po cestě k řešení použili něco, co v realitě neexistuje, koneckonců, zajímalo by mě, jak si můžeme v reálném životě představit třeba číslo pí. Podle mě to také nejde.

LukasM · 29. 03. 2013 19:39

martisek napsal(a):
Imaginární čísla objevil Geronimo Cardano

Neobjevil. Matematické objekty jde maximálně definovat. Sice se to asi zdá jako detail, ale pokud autor dotazu pátrá po vztahu matematiky a fyziky, tak je to důležitý detail.

Otázka nakolik komplexní (nebo i reálná) čísla existují v reálném světě už je spíš filosofická, a k ničemu užitečnému asi nepovede :-)

Meglun · 29. 03. 2013 19:42

Zdá se, že na pravou sílu a účel komplexních čísel teprve budu narážet při dalším studiu. :-) moc děkuji za osvětlení.

martisek · 29. 03. 2013 20:58

↑ LukasM:

Mám jiný názor. Myslím, že i v matematice lze objevovat, a že objevovat a definovat je dost velký rozdíl. I v matematice se musí nejdříve něco objevit. Až pak je možné to definovat. Například iracionální čísla objevil už kdysi hodně dávno Pythagoras. A definována byla daleko později.

martisek · 29. 03. 2013 21:00

↑ Meglun:

Je to tak - a neplatí to zdaleka jen o komplexních číslech. Já jsem matematiku začal objevovat až dost dlouho poté, co jsem ji vystudoval :-)

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2013 18:59

Komplexní čísla -význam

#2 29. 03. 2013 19:16

Re: Komplexní čísla -význam

#3 29. 03. 2013 19:19 — Editoval martisek (29. 03. 2013 19:31)

Re: Komplexní čísla -význam

#4 29. 03. 2013 19:21

Re: Komplexní čísla -význam

#5 29. 03. 2013 19:39

Re: Komplexní čísla -význam

martisek napsal(a):

#6 29. 03. 2013 19:42

Re: Komplexní čísla -význam

#7 29. 03. 2013 20:58

Re: Komplexní čísla -význam

#8 29. 03. 2013 21:00

Re: Komplexní čísla -význam

Zápatí