Matematické Fórum

Nine9 · 27. 03. 2013 21:54

Zdravím,

prosím o pomoc při řešení tohoto úkolu:

Do krychle o hraně délky a je vepsána koule o poloměru r. Jaký je poměr (vyjádřený zlomkem) objemu vepsané koule k objemu krychle? (Poměr vyjádřete zlomkem v základním tvaru.)

Úkol jsem zkoušel řešit dosazením konkrétních číselných hodnot za neznámé, ale díky \pi ve vzorci pro výpočet objemu krychle se mi nepodaří převést číslo do zlomku. Hledal jsem i na internetu obdobné úkoly, ale ani ty jsem nenašel, když už tak to bylo naopak - krychle vepsaná v kouli, což mi nepomohlo.

Za každou odpověď děkuji.

byk7 · 27. 03. 2013 22:01

↑ Nine9:

Využij toho, že r=a/2.

martisek · 28. 03. 2013 07:55

↑ Nine9:

Vyjádřit poměr zlomkem v základním tvaru vinou toho pi opravdu nejde. Vyřešil bych tak, že bych to napsal jako součin zlomku v základním tvaru a toho pi a poznamenal bych, že zlomkem v základním tvaru to vyjádřit nejde.

martisek · 28. 03. 2013 22:40

↑ ((:-)):

" Zlomok v základnom tvare je taký zlomok, v ktorom čitateľ a menovateľ sú nesúdeliteľné čísla, pí s tým nemá nič. "

Omyl. Zlomek v základním tvaru musí mít c e l o č í s e l n é h o čitatele i jmenovatele, jinak nemá smysl mluvit o soudělnosti a nesoudělnosti. Takže zlomek obsahující pí nemůže být v základním tvaru. Matematika (bohudík) není jen o vyrábění obrázků a o dosazování do vzorců. Matematika je především o přesném myšlení, které bychom měli používat i tady.

((:-)) · 28. 03. 2013 23:30

↑ martisek:

Som si istá, že autor otázky mal pod zlomkom v základnom tvare (asi tiež nepresne, tak ako ja) toto:

Nine9 · 29. 03. 2013 00:45

Ano, měl jsem pod zlomkem v základním tvaru na mysli takový zlomek, který nelze dále krátit. Výsledek mi vyšel pí/6 a teď mi tedy není jasné, zda to pí ve zlomku vadí nebo ne. Ale jinak, než takto, to prostě udělat nejde.

Cheop · 29. 03. 2013 10:26

↑ Nine9:
To pí v čitateli zlomku nevadí.
Výsledek $\frac{\pi}{6}$ je konečný a správný.

Rumburak

↑ Nine9:, ↑ ((:-)):

Ahoj.

A co to znamená, že zlomek není možno krátit?

Problém je v tom, že zlomek $\frac{a}{b}$ už v TĚLESE RACIONÁLNÍCH ČÍSEL lze krátit VŽDY, např.

$\frac {72,9 }{5,61} = \frac {2 \cdot 36,45 }{2 \cdot 2,805} = \frac {36,45 }{2,805}$ (pokud jsem zvládl ty aritmetické operace),

takže zde potom "zlomky v základním tvaru" neexistují.

Pojem zlomku v základním tvaru má smysl pouze tehdy, připojíme-li předpoklad, že čitatelé ani jmenovatelé zlomků
nevybočují z oboru celých čísel, což zlomek $\frac{\pi}{6}$ nesplňuje.

Honzc · 29. 03. 2013 10:57

↑ Cheop:
Čau,
podle toho co jsem četl o zlomcích v základním tvaru, pak $\frac{\pi}{6}$ je sice správný výsledek, ale není to zlomek v základním tvaru.
Pravdu o zlomcích v základním tvaru má ↑ martisek:

martisek

↑ Nine9: ↑ Cheop:

Ono s k tomu dá přistupovat dvojím způsobem:

1. Kašli na slovíčka, výsledek je $\frac{\pi}{6}$ . Matematické definice nebudeme brát tak doslova - to matematické slovíčkaření je totiž na draka, takže se budeme se řídit heslem "líp to napsat nejde, takže je to správně".

To je ale podle mě cesta do pekel.

Anebo se začneme ptát a to bude asi mazec:

2. Co je to "zlomek v základním tvaru"?

Dana: "Zlomek je v základním tvaru, když ho není možné krátit."

3. Co znamená "krátit zlomek?"

4. Dělit čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly...

5. Pak tedy $\frac{\pi}{6}$ v základním tvaru není, protože čitatele i jmenovatele mohu dělit dokonce nekonečně mnoha takovými čísly.

6. Aha, tak pardon, dělit čitatele i jmenovatele musím stejným celým číslem různým od nuly...

7. Jenže to naprosto stejně opakuji námitku 5.

8. Aha, tak pardon, zlomek je v základním tvaru, když čitatel i jmenovatel jsou nesoudělná čísla.

9. Co to znamená, že čísla jsou nesoudělná?

10. Dvě čísla jsou nesoudělná, když je nelze dělit stejným číslem různým od nuly...

11. Jenže to jsou každá dvě čísla soudělná, protože každá dvě čísla lze kromě nuly dělit zcela libovolným číslem.

12. Jenže soudělnost je definována jen pro celá čísla.

13. Pí není celé číslo. Takže znovu se ptám:

a) Co je to zlomek v základním tvaru?
b) Co si vůbec představujete pod pojmem "zlomek"?

A než se to dovím, doporučuji ↑ Nine9:, aby napsal, že výsledek je $\frac{\pi}{6}$ , toto číslo nelze napsat ani jako zlomek, natož jako zlomek v základním tvaru.

martisek · 29. 03. 2013 11:16

↑ Rumburak:

Jistě - základní problém je totiž v tom, že pojem zlomek má smysl pouze v Q. Primárně je to uspořádaná dvojice celých čísel, reprezentujících číslo racionální. V širším slova smyslu mohou být čitatel i jmenovatel racionální, a to právě proto, že ke každému takovému číslu lze najít "základní tvar" - dvojici celých nesoudělných čísel reprezentující totéž racionální číslo.

Honzc · 29. 03. 2013 11:18

↑ Nine9:
Ještě naposledy o zlomcích.
"Racionální čísla dostaneme rozšířením oboru celých čísel o zlomky, t.j o čísla tvaru p/q, kde p a q jsou celá čísla, q<>0"
Jak je tedy vidět zlomky patří do oboru racionálních čísel, kdežto $\pi$ do oboru iracionálních (reálných) čísel. A tedy ve výsledku $\frac{\pi}{6}=\frac{1}{6}\pi$ je zlomkem v základním tvaru $\frac{1}{6}$ a tento zlomek je násoben iracionálním číslem $\pi$ přesně tak jak píše ↑ martisek:

jelena · 29. 03. 2013 19:24

Zdravím,

jen pro zajímavost - úloha je odsud (je v ukázkovém pdf), tedy lze oslovit i tým autorů, jak si vyložili diskutovaný pojem. Mne hlavně fascinovala cena publikace :-)

↑ Nine9:

jaký je Tvůj zdroj zadání? Děkuji.

martisek · 29. 03. 2013 21:28

↑ jelena:

"...lze oslovit i tým autorů ..."

Stalo se - viz soukromá zpráva :-)

jelena · 30. 03. 2013 00:10

↑ martisek:

děkuji, počkáme tedy na vyjádření autorů (snad).

Matematické Fórum

#1 27. 03. 2013 21:54

Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#2 27. 03. 2013 22:01

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#3 28. 03. 2013 07:55

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#4 28. 03. 2013 22:40

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#5 28. 03. 2013 23:30

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#6 29. 03. 2013 00:45

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#7 29. 03. 2013 10:26

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#8 29. 03. 2013 10:51 — Editoval Rumburak (29. 03. 2013 11:10)

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#9 29. 03. 2013 10:57

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#10 29. 03. 2013 11:02 — Editoval martisek (29. 03. 2013 11:10)

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#11 29. 03. 2013 11:16

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#12 29. 03. 2013 11:18

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#13 29. 03. 2013 19:24

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#14 29. 03. 2013 21:28

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

#15 30. 03. 2013 00:10

Re: Poměr objemu koule vepsané do krychle a objemu krychle

Zápatí