Matematické Fórum

check_drummer · 31. 03. 2013 00:37

Ahoj,
následující úloha nejspíš nemá žádné řešení, ale může být zajímavé se nad ní zamyslet. Tedy: Je známo, že $\sum{\frac1n}$ diverguje a $\sum{\frac1{n^d}}$ pro d>1 konverguje. Bylo by tedy zajímavé hledat takovou posloupnost, která konverguje a jejíž členy jsou "co největší".

Abychom to trošku zformalizovali, řekneme, že $f \ge g$ (posloupnost f je větší než g), pokud od určitého $n_0$ je $\forall (n>n_0) f(n) \ge g(n)$ . Rovněž se zabývejme jen klesajícími posloupnostmi s kladnými členy.
Ještě by asi bylo dobré definovat, že některé poslupnosti považujeme v tomto směru za totožné, přestože se od sebe liší: Např. je-li podíl f(n)/g(n) od určitého n>n0 konstantní, považujeme f,g za totožné a rovněž je-li f(n)=g(n-c) od určitého n>n0 pro nějaké pevné c (g je "posunutá" f), pak rovněž považujeme f,g za totožné. A kombinací obojího (touto podmínkou lze nahradit obě předchozí): je-li podíl f(n)/g(n-c) od určitého n>n0 pro nějaké pevné c konstantní, považujeme f,g za totožné.

(Možná by bylo zajímavé najít konstrukci, která k f konvergentní najde větší g rovněž konvergentní. Potom bychom na základě této konstrukce definovali, že tyto f,g jsou totožné - a je otázka, zda lze takto postupovat neomezeně, tj. zda takových konstrukcí je nekonečně mnoho. Trošku to připomíná větu o neúplnosti známou z logiky.)

Hned za začátek je tedy třeba vyřešit to, že $\sum{\frac1{n^c}}$ a $\sum{\frac1{n^d}}$ pro $1<c \le d$ bychom chtěli považovat za totožné (a nejen tyto, ale i podobné takové). Platí však věta, že pokud $\sum{f(n)}$ konverguje, pak existuje u>0, že $\sum{f(n) \cdot n^u}$ rovněž konverguje?

Děkuji za názory a za případné návrhy řešení jakožto i za další rozšíření definice, kdy dvě posloupnosti z tohoto pohledu považovat za totožné.