Matematické Fórum

X3R0Cz · 31. 03. 2013 17:17

Ahoj, chtěl bych poradit s tímto příkladem:

Počet všech reálných řešení rovnice $\sqrt{3x+6}=x-4$ je roven číslu:

chtěl bych se zeptat, jestli když si určím, že $3x+6\ge 0$ , tak platí i že: $x-4\ge 0$
podmínky by teda byla průnikem dvou intervalů, takže ve finále $x\in \langle4,\infty \rangle$

Kořeny rovnice my vyšly $x_{1}=10, x_{2}=1$ , takže podmínkám by vyhovovalo pouze $x_{1}$

Počet řešení se tedy = 1.

Je tento postup správný?

nejsem_tonda · 31. 03. 2013 17:52

Vysledkem ano, logikou uvah ale zcela spravny neni.
V zasade muzeme volit dva pristupy:

1) Vykaslat se na podminky, rovnici neekvivalentne upravit, najit kandidaty na reseni a zkouskou overit, kolik z nich je skutecne resenim. Takto dojdes k tomu, ze z kandidantu na reseni 10 a 1 vyhovuje 10, takze rovnice ma jedno reseni.

2) Na zacatku se zabyvat podminkami. Pak neni pravdou, ze

$3x+6\ge 0$ , tak platí i že: $x-4\ge 0$

Z podminky $3x+6\ge 0$ totiz neplyne, ze nutne $x-4\ge 0$ . To je jedina logicka nepresnost.
Dale je pravdou, ze je potreba splnit zaroven podminku $3x+6\ge 0$ i podminku $x-4\ge 0$ , coz plnuji vsechna cisla $x\in \langle4,\infty )$ .

martisek

↑ X3R0Cz:

První přístup doporučovaný ↑ nejsem_tonda: je lepší. Při řešení totiž musíme umocnit, což je neekvivalentní úprava, takže i když na začátku podmínky stanovíme, zkoušku tak jako tak udělat musíme - je "povinná" neboli, jak se říká oficiálně, je součástí řešení.

nejsem_tonda · 31. 03. 2013 18:29

↑ martisek:

Při řešení totiž musíme umocnit, což je neekvivalentní úprava, takže i když na začátku podmínky stanovíme, zkoušku tak jako tak udělat musíme - je "povinná"...

To bych netvrdil. V momente, kdy se omezime na hledani reseni v intervalu $x\in \langle4,\infty )$ , muzeme tvrdit, ze v tomto intervalu jsou obe strany rovnice nezaporne a tudiz je umocneni (v tomto intervalu!) ekvivalentni uprava. Resenim rovnice po umocneni (v tamtom intervalu!) je pak uz jen jedine cislo - cislo 10 a pro toto cislo v principu neni nutne provadet zkousku.

Samozrejme, ze se ted bavime o nuanci v argumentaci. Pokud nam jde o reseni podobnych rovnic, zkouskou nemuzeme nikdy nic zkazit a vzhledem k jeji casove narocnosti asi neni duvod ji neudelat.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2013 17:17

Určení podmínek v lineární rovnici

#2 31. 03. 2013 17:52

Re: Určení podmínek v lineární rovnici

#3 31. 03. 2013 18:19 — Editoval martisek (31. 03. 2013 18:20)

Re: Určení podmínek v lineární rovnici

#4 31. 03. 2013 18:29

Re: Určení podmínek v lineární rovnici

Zápatí